## [Décomposition de Hodge](/fr/node/62670) Définition Une décomposition orthogonale de l'espace des formes différentielles sur une variété riemannienne compacte en trois sous-espaces mutuellement orthogonaux : formes harmoniques (noyau du laplacien de Hodge), formes exactes (images de la différentielle extérieure) et formes coexactes (images du codifférentiel). Elle identifie les classes de cohomologie de de Rham à des représentants harmoniques et relie l'analyse elliptique aux invariants topologiques. ## Principe Principe Le laplacien de Hodge est un opérateur elliptique auto-adjoint avec noyau de dimension finie sur une variété compacte ; la projection orthogonale sur ce noyau fournit des représentants harmoniques canoniques des classes de cohomologie de de Rham, et toute forme se décompose de façon unique en harmonique + exacte + coexacte. ## Démonstration Démonstration Sur une variété compacte orientée M, toute k-forme ω admet une décomposition unique ω = h + dα + δβ où h est harmonique (Δh = 0), α est une (k−1)-forme et β une (k+1)-forme ; le nombre de Betti b_k est égal à dim(noyau Δ_k). ## Mauvaise application Mauvaise application Appliquer la même décomposition sur une variété non compacte ou sans préciser de conditions au bord peut échouer : le spectre continu ou le fait que l'image de d/δ ne soit pas fermée rompt la séparation orthogonale, si bien que traiter toute forme fermée comme harmonique ou exacte conduit à des erreurs. ## Conséquence Conséquence On obtient des représentants harmoniques dépendant de la métrique qui déterminent toutefois les groupes de cohomologie topologiques ; cela permet de calculer les nombres de Betti à partir des données spectrales et soutient des raffinements hodgétiques comme le théorème de Hodge sur les variétés kählériennes. ## Inversion Inversion Plutôt que de décomposer les formes en parties harmoniques, exactes et coexactes, l'inversion consisterait à tenter de reconstruire des données métriques globales uniquement à partir des classes de cohomologie ; cette inversion perd l'information spectrale analytique et est généralement impossible sans structure supplémentaire. ## Limite Limite Valable pour les variétés riemanniennes compactes sans bord ; pour les variétés à bord il faut imposer des conditions absolues ou relatives (ou utiliser les conditions d'Atiyah–Patodi–Singer) ; ne s'applique pas aux opérateurs non elliptique ni aux situations avec spectre essentiel. ## Tension sémantique Tension sémantique Étroitement liée au théorème de de Rham (identification topologique de la cohomologie) et à la décomposition de Hodge complexe sur les variétés kählériennes (séparation en types (p,q)) ; la tension tient à la différence entre classes de cohomologie purement topologiques et représentants harmoniques dépendant de la métrique. ## Synthèse Synthèse La décomposition de Hodge est le dispositif analytique qui réalise concrètement la cohomologie de de Rham : la régularité elliptique rend la cohomologie de dimension finie et sélectionne des formes harmoniques canoniques, produisant une séparation orthogonale unique en composantes harmoniques, exactes et coexactes.