##  [Indice de Fredholm](/fr/node/62669) 

 Définition

Invariant à valeurs entières d'un opérateur de Fredholm égal à la dimension de son noyau moins la dimension de son conoyau ; il mesure l'obstruction de dimension finie à l'inversibilité et relie la théorie analytique des opérateurs à l'information topologique.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Les opérateurs de Fredholm ont une image fermée, noyau et conoyau de dimension finie, et leur indice est stable par perturbations compactes et par déformations continues (homotopies) ; pour les opérateurs elliptiques sur variétés compactes l'indice analytique coïncide souvent avec un indice topologique.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

En dimensions finies une application linéaire entre espaces de même dimension est de Fredholm d'indice zéro ; pour un opérateur différentiel elliptique sur une variété fermée l'indice vaut dim noyau − dim conoyau et, pour des complexes elliptiques classiques, coïncide avec un invariant topologique calculable à partir de classes caractéristiques.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Attribuer un indice à des opérateurs non‑Fredholm (noyau de dimension infinie ou image non fermée) ou supposer indice zéro sans vérifier les propriétés de Fredholm ; confondre la dimension du noyau (analytique) avec des invariants topologiques sans les hypothèses de Fredholm.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit des assertions d'existence à modulo obstructions de dimension finie, permet de compter les degrés de liberté des solutions sous perturbation, sous-tend le flux spectral et des résultats de stabilité, et établit des ponts puissants vers la topologie (théorèmes d'indice) et la K‑théorie.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Un opérateur non‑Fredholm (par ex. avec conoyau de dimension infinie ou image non fermée) n'a pas d'indice fini bien défini ; l'échec d'inversibilité est de nature infinie et ne peut être corrigé par des ajustements de dimension finie.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux opérateurs bornés ou à des opérateurs non bornés fermés convenablement définis entre espaces de Banach ou Hilbert vérifiant les conditions de Fredholm (ou aux opérateurs elliptiques avec espaces de mappage appropriés) ; exclut les opérateurs non bornés arbitraires sans contrôle de domaine ou opérateurs à cibles non Banach.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Se distingue des invariants spectraux : l'indice est un entier stable sous perturbations compactes et homotopie, tandis que les quantités spectrales (comptes d'autovaleurs) peuvent varier ; il contraste aussi l'indice analytique et l'indice topologique dont l'égalité requiert des hypothèses d'ellipticité et de compacité.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'indice de Fredholm quantifie l'échec de dimension finie de l'inversibilité pour des opérateurs aux bonnes propriétés de mappage ; son invariance par homotopie et ses liens avec la topologie en font un invariant central pour les questions d'existence, de déformation et de classification en analyse.