## [Singularité Conique](/fr/node/62663) Définition Singularité localisée en un point du bord, située au sommet d'un cône où la géométrie locale se modélise par le produit d'une variable radiale et d'un lien compact (la section transversale du cône), et où les solutions présentent des asymptotiques déterminées par le problème spectral sur ce lien. ## Principe Principe La séparation locale en comportement radial et modes angulaires (du lien) entraîne des développements en r^{λ} (éventuellement avec facteurs logarithmiques) ; les exposants λ admissibles sont des racines d'une équation caractéristique issue de l'opérateur transverse sur le lien, de sorte que la régularité est d'origine spectrale. ## Démonstration Démonstration Pour l'équation de Laplace dans un secteur plan ou sur un cône de dimension n : près du sommet, les harmoniques se décomposent en r^{λ} multiplié par des fonctions propres sur le lien circulaire ou sphérique ; des λ non entiers entraînent une régularité fractionnaire en Sobolev et, pour certains λ, des singularités non intégrables au sommet. ## Mauvaise application Mauvaise application Supposer une régularité Hölder ou Sobolev classique au sommet conique et négliger le spectre du lien lors de la construction d'un parametrix ; ou traiter les pointes coniques comme des points de bord lisses dans les discrétisations numériques sans gradation de maillage vers le sommet. ## Conséquence Conséquence Conduit à l'usage de méthodes de transformée de Mellin, d'espaces de Kondrat'ev pondérés et à l'appariement explicite des termes asymptotiques ; impacte les résultats d'existence/unicité et exige des modifications aux conditions au bord ou des conditions de compatibilité pour la bien-posée dans des espaces standards. ## Inversion Inversion Lissage du sommet en un voisinage C^∞ ou imposition de conditions au bord supprimant les valeurs propres transverses problématiques élimine la singularité conique et restaure les développements locaux classiques. ## Limite Limite Pertinent lorsque le domaine ou la variété possède un point conique isolé (variété à singularité conique isolée) ou lorsque les coefficients induisent un cône effectif ; ne décrit pas les singularités étendues d'arêtes ni celles produites par des coefficients rugueux éloignés d'une pointe géométrique. ## Tension sémantique Tension sémantique Souvent confondue avec les singularités en coin ou d'arête ; la tension tient au fait que les cônes sont des lieux singuliers de dimension zéro dont la théorie spectrale est donnée par le lien, tandis que les coins ou arêtes impliquent d'autres codimensions et un couplage directionnel. ## Synthèse Synthèse La singularité conique est la défaillance ponctuelle de la régularité classique au sommet d'un cône : le comportement asymptotique est codé par les valeurs propres de la section transversale, nécessitant des techniques de Mellin et des espaces pondérés pour décrire précisément les solutions.