##  [Formule D'Intégrale de Cauchy](/fr/node/62596) 

 Définition

Une identité fondamentale de l'analyse complexe affirmant que si f est holomorphe sur un ouvert contenant une courbe fermée γ et son intérieur, alors pour tout point a à l'intérieur de γ, f(a) = (1/2πi) ∮_γ f(z)/(z−a) dz, et plus généralement f^(n)(a) = n!/(2πi) ∮_γ f(z)/(z−a)^{n+1} dz. Cela exprime valeurs et dérivées par des intégrales de bord.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'holomorphie implique des représentations intégrales locales : valeurs et dérivées en des points intérieurs sont déterminées par des intégrales de contour autour de ces points, reflétant la continuation analytique et la rigidité.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Prendre f(z)=1 et γ le cercle unité ; l'intégrale de 1/(z−a) sur γ vaut 2πi si a est à l'intérieur et 0 sinon, retrouvant la formule. Pour un f holomorphe général on calcule f(a) en intégrant f(z)/(z−a) sur un petit cercle autour de a.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer la formule lorsque f n'est pas holomorphe dans l'intérieur de γ, lorsque γ n'est pas fermée ou orientée correctement, ou si l'intégrande possède d'autres singularités à l'intérieur que le pôle simple en z=a.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Corollaires immédiats : l'analyticitité (les fonctions holomorphes coïncident avec leurs séries de Taylor), les estimations de Cauchy pour les dérivées, le théorème de Liouville, et les fondements du calcul des résidus et de nombreux résultats d'unicité.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Le théorème de Morera est une sorte de réciproque : si toutes les intégrales de contour fermées d'une fonction continue s'annulent sur un domaine, la fonction est holomorphe. Cependant, l'annulation d'intégrales particulières autour d'une seule courbe ne suffit pas.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Nécessite que f soit holomorphe sur et à l'intérieur de la courbe (ou au moins continue sur la courbe fermée et holomorphe à l'intérieur) et que γ soit une courbe fermée simple orientée positivement ; des singularités intérieures invalident la formule directe sauf si elles sont traitées par les résidus.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Rapports étroits avec le théorème des résidus et les représentations intégrales pour fonctions méromorphes ; il faut distinguer la reconstruction locale explicite des valeurs de techniques intégrales plus larges qui traitent pôles et coupures.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La formule intégrale de Cauchy transforme l'holomorphie en représentations intégrales explicites des valeurs et dérivées : la connaissance d'une fonction holomorphe sur un contour détermine son comportement intérieur, conduisant à l'analyticité, bornes sur les dérivées et de nombreuses conséquences structurelles.