## [Théorème de Stone–Weierstrass](/fr/node/62591) Définition Un théorème qui donne les conditions pour qu'une sous‑algèbre A de C(X) (fonctions continues réelles ou complexes sur un espace compact de Hausdorff X) soit dense uniformément dans C(X) : en général A doit contenir les constantes, séparer les points, et dans le cas complexe être stable par conjugaison (une *‑sous‑algèbre). ## Principe Principe La fermeture algébrique par addition et multiplication combinée à la capacité de séparer les points et à la présence des constantes impose l'approximation uniforme de toute fonction continue sur un compact. ## Démonstration Démonstration Les polynômes forment une sous‑algèbre de C([a,b]) contenant les constantes et séparant les points, donc sont uniformément denses (Weierstrass classique) ; les polynômes trigonométriques séparent les points du cercle et sont denses dans C(S1). ## Mauvaise application Mauvaise application Supposer la densité alors que l'algèbre ne sépare pas les points, n'a pas les constantes, ou dans le cas complexe n'est pas fermée par conjugaison ; appliquer la conclusion de compacité à des domaines non compacts sans remplacer C(X) par C0(X) ou sans conditions de décroissance. ## Conséquence Conséquence Fournit un outil puissant pour approcher des fonctions continues par des classes plus simples (polynômes, combinaisons algébriques, sommes trigonométriques), soutenant le calcul fonctionnel et les arguments constructifs d'approximation. ## Inversion Inversion Une sous‑algèbre propre et fermée pour la norme du sup peut exister lorsque la séparation ou la condition sur les constantes échoue ; la réciproque met en évidence des obstructions comme la non‑séparation. ## Limite Limite La formulation exige X compact de Hausdorff et des hypothèses sur A (constantes, séparation, *‑stabilité pour le cas complexe) ; pour X non compact on utilise des versions pour C0(X) avec hypothèses additionnelles ou approximations pondérées. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension entre le théorème d'approximation de Weierstrass (polynômes sur un intervalle) et la généralisation de Stone : les deux affirment la densité mais diffèrent par les hypothèses et le champ d'application ; éviter aussi la confusion avec la compactification de Stone–Čech. ## Synthèse Synthèse Stone–Weierstrass affirme qu'une algèbre de fonctions continues suffisamment riche algébriquement et topologiquement (contenant les constantes et séparant les points, avec *‑stabilité pour les fonctions complexes) approchera uniformément toute fonction continue sur un compact, faisant de l'approximation une conséquence des propriétés algébriques et de séparation.