##  [Inégalité de Hölder](/fr/node/62585) 

 Définition

Inégalité bornant l'intégrale (ou la somme) du produit de deux fonctions mesurables par le produit de leurs normes L^p et L^q lorsque les exposants p et q sont conjugués (1/p + 1/q = 1).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Pour 1 ≤ p,q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1, si f∈L^p et g∈L^q alors fg est intégrable et ∫ |f g| ≤ ||f||_p ||g||_q. La forme générale s'étend à des familles finies via l'inégalité de Hölder pour plusieurs facteurs avec réciproques des exposants sommant à 1.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple : pour p=q=2 sur un espace de probabilité, Hölder devient l'inégalité de Cauchy–Schwarz : |∫ f g| ≤ ||f||_2 ||g||_2. Concrètement, pour des signaux à carré intégrable f et g, le produit scalaire est borné par le produit des normes L^2.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Essayer d'appliquer Hölder avec des exposants non conjugués ou avec des fonctions qui ne sont pas dans les espaces L^p indiqués est invalide ; de même, utiliser Hölder pour p<1 échoue car L^p n'est alors pas un espace normé et l'inégalité ne tient pas.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Hölder fournit un outil fondamental pour estimer intégrales et sommes, établir la dualité entre L^p et L^q, et déduire d'autres inégalités (Minkowski, Young) ainsi que la bornitude d'opérateurs linéaires.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Il n'existe pas d'inégalité générale réciproque : on ne peut pas majorer ||f||_p ||g||_q par ∫ |f g| en général. Le cas d'égalité caractérise des conditions de proportionnalité entre |f|^p et |g|^q (à des ensembles nuls près).

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Valide pour 1 ≤ p,q ≤ ∞ avec conjuguaison 1/p+1/q=1 ; exclut les régimes quasi-normes p<1 et exige l'appartenance de f et g aux espaces L^p et L^q correspondants.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Des tensions apparaissent avec Minkowski (inégalité triangulaire dans L^p) et Young (convolution) ; conceptuellement Hölder échange l'intégrabilité entre facteurs tandis que d'autres inégalités gèrent la sommation ou la convolution.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'inégalité de Hölder affirme que l'intégrale d'un produit est contrôlée par le produit des normes L^p pour exposants conjugués, fondant la dualité des normes et les estimations dans l'analyse.