## [Théorème de Convergence Monotone](/fr/node/62577) Définition Un théorème de la théorie de la mesure énonçant que si (f_n) est une suite croissante de fonctions mesurables non négatives qui converge ponctuellement vers f, alors les intégrales ∫ f_n convergent vers ∫ f (éventuellement infini), c'est-à-dire lim_{n→∞} ∫ f_n = ∫ lim_{n→∞} f_n. ## Principe Principe La monotonie associée à la non-négativité permet de faire passer la limite sous le signe d'intégrale parce que les intégrales forment une suite croissante bornée supérieurement par l'intégrale de la limite ponctuelle (ou divergent conjointement). ## Démonstration Démonstration Prendre f_n = min(f, n) pour une fonction mesurable non négative f ; (f_n) augmente vers f, et par le théorème ∫ f_n ↗ ∫ f. Ou poser f_n = 1_{[0,1-1/n]} sur R ; f_n ↑ 1_{[0,1)} et ∫ f_n → 1 = ∫ 1_{[0,1)}. ## Mauvaise application Mauvaise application Appliquer le théorème à des suites qui ne sont pas monotones croissantes ou pas non négatives (par ex. une suite alternée) conduit à des conclusions fausses ; la monotonie et la non-négativité sont des hypothèses essentielles. ## Conséquence Conséquence Ce théorème est une pierre angulaire pour l'échange des limites et des intégrales dans de nombreux arguments d'existence et d'approximation ; il implique le lemme de Fatou et soutient les approximations par fonctions simples utilisées pour définir l'intégrale de Lebesgue. ## Inversion Inversion Le théorème de convergence dominée fournit un outil de type conversé : si les fonctions sont dominées par une fonction intégrable (au lieu d'être monotones), on peut aussi échanger limite et intégrale, mais les hypothèses et implications diffèrent en direction et applicabilité. ## Limite Limite Exige des fonctions mesurables, monotones croissantes ponctuellement presque partout, et non négatives. Il ne s'applique pas aux suites décroissantes (sauf avec des hypothèses d'intégrabilité supplémentaires) ni aux suites de fonctions signées sans décomposition appropriée. ## Tension sémantique Tension sémantique Il existe une tension avec la convergence dominée lorsque la monotonie fait défaut mais que la domination tient ; chaque théorème présente des compromis d'hypothèses (monotone vs dominée) et de facilité de vérification en application. ## Synthèse Synthèse Le théorème de convergence monotone offre une règle robuste de préservation de la limite pour des approximations monotones non négatives : les approximants mesurables croissants convergent en intégrale vers l'intégrale de leur limite ponctuelle, constituant un outil fondamental de l'intégration de Lebesgue.