## [Distance de Hausdorff](/fr/node/62569) Définition Une métrique sur la famille des sous-ensembles non vides et bornés d'un espace métrique définie comme le maximum des deux suprema dirigés des distances des points d'un ensemble vers l'autre (équivalente à l'infimum r tel que chaque ensemble soit contenu dans le voisinage r de l'autre). ## Principe Principe La distance de Hausdorff organise la proximité des ensembles par le plus grand des écarts de points au plus proche voisin : elle mesure la distance maximale qu'il faut parcourir depuis un point de l'un ou l'autre ensemble pour atteindre l'autre, symétrisant les proximités unilatérales en une véritable métrique sur les fermés bornés. ## Démonstration Démonstration Sur R avec la métrique euclidienne, la distance de Hausdorff entre [0,1] et [0.1,1.1] vaut 0,1 car chaque point d'un intervalle est à moins de 0,1 d'un point de l'autre ; de petites perturbations uniformes d'un compact provoquent de petites distances de Hausdorff. ## Mauvaise application Mauvaise application Employer la distance de Hausdorff pour des ensembles non bornés sans modification (où elle peut être infinie) ou s'attendre à ce qu'elle reflète la similarité au sens de la mesure (deux ensembles peuvent avoir une petite différence symétrique en mesure mais une grande distance de Hausdorff) sont des usages erronés fréquents. ## Conséquence Conséquence Sur l'espace des sous-ensembles compacts non vides d'un espace métrique compact, la distance de Hausdorff définit une métrique complète et rend l'hyperspace compact ; elle est largement utilisée en analyse de formes, approximation géométrique et convergence d'ensembles. ## Inversion Inversion Remplacer la distance de Hausdorff par la mesure de la différence symétrique ou par des distances L^p entre ensembles inverse l'accent de la séparation géométrique ponctuelle maximale vers des écarts moyennés ou volumiques ; cette inversion convient aux comparaisons probabilistes ou métriques mais perd le contrôle géométrique au pire cas. ## Limite Limite Définie pour les sous-ensembles non vides et bornés d'un espace métrique ; souvent restreinte aux fermés ou compacts pour éviter des pathologies et assurer la finitude et les propriétés métriques ; elle dépend de la métrique ambiante et n'est pas intrinsèque aux ensembles sauf si la géométrie ambiante est fixée. ## Tension sémantique Tension sémantique La distance de Hausdorff rivalise avec la distance de Gromov–Hausdorff et avec les distances entre ensembles fondées sur la mesure : la première compare les espaces métriques à isométrie près, la seconde moyenne les écarts, de sorte que le choix dépend de la priorité donnée à l'alignement géométrique ponctuel ou à la similitud volumétrique globale. ## Synthèse Synthèse La distance de Hausdorff est l'écart maximal au plus proche voisin entre deux sous-ensembles bornés : une mesure symétrique, dépendante de la métrique ambiante, de la proximité des ensembles qui capture la déviation géométrique au pire cas, sous-tend des résultats de compacité pour l'hyperspace et contraste avec les écarts moyennés.