##  [Infimum Essentiel](/fr/node/62555) 

 Définition

Pour une fonction mesurable f, l’infimum essentiel est le plus grand nombre réel étendu m tel que f(x) ≥ m pour presque tout x (c.-à-d. en dehors d’un ensemble de mesure nulle). Il fournit une borne inférieure maximale à modulo des ensembles nuls.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Ignorer les ensembles nuls pour les bornes inférieures : l’infimum essentiel maximise la borne inférieure qui tient presque partout, donnant une notion p.p. des valeurs minimales.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Considérons g qui vaut 5 partout sauf sur un ensemble dénombrable de mesure nulle où g prend la valeur −100. L’infimum essentiel de g est 5 car les valeurs négatives extrêmes n’apparaissent que sur un ensemble nul, bien que l’infimum ponctuel soit −100.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Utiliser l’infimum ponctuel comme s’il était l’infimum essentiel, laissant ainsi des creux négligeables dicter la borne globale inférieure ; ou appliquer ess inf sans mesurabilité ou mesure précisée.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Donne une notion stable de bornes inférieures presque partout utilisée dans les estimations L^p, les principes de comparaison et l’ordre des classes d’équivalence de fonctions mesurables.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L’infimum ponctuel, perspective inverse, ne néglige pas les creux négligeables et est en général ≤ à l’infimum essentiel si des pics négatifs existent sur des ensembles nuls.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S’applique uniquement aux fonctions mesurables sur un espace mesuré ; c’est un nombre réel étendu et peut être −∞ ou +∞. Il ne rend pas compte des minima topologiques ni du comportement sur des ensembles non mesurables.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Conflit avec l’infimum ponctuel : l’infimum essentiel privilégie le comportement p.p., tandis que l’infimum ponctuel traite chaque point de la même façon. L’absence de mesure crée une ambiguïté.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L’infimum essentiel est le plus grand réel étendu qui constitue une borne inférieure presque partout : l’analogue en théorie de la mesure de l’infimum classique, stable sous perturbations sur ensembles nuls.