## [Microlocalisation](/fr/node/62547) Définition Famille de techniques qui isolent et étudient les singularités des distributions simultanément en position (espace) et en fréquence (variables de Fourier), généralement en localisant dans l'espace des phases à l'aide d'opérateurs pseudodifférentiels, paquets d'ondes ou transformées FBI pour révéler l'ensemble des ondes (wavefront set) et la régularité fine/propagation. ## Principe Principe Les singularités se caractérisent non seulement par leur emplacement mais par les directions (cotangentes/fréquences) dans lesquelles elles manquent de régularité ; la microlocalisation construit des sondes localisées dans l'espace des phases qui respectent le principe d'incertitude et suivent comment les EDP transportent les singularités le long des directions caractéristiques. ## Démonstration Démonstration Pour l'équation des ondes sur une variété, la microlocalisation par des coupures pseudodifférentielles montre que le wavefront set d'une solution se propage le long des bicharactéristiques nulles ; l'application d'un parametrix microlocal donne des améliorations de régularité précises hors des directions caractéristiques. ## Mauvaise application Mauvaise application Chercher une localisation simultanée indéfiniment fine en position et en fréquence en violation du principe d'incertitude, ou utiliser une troncature naive en variable de Fourier sans coupures lisses ni calcul microlocal, conduisant à des conclusions erronées sur le support singulier. ## Conséquence Conséquence La microlocalisation fournit des énoncés exacts sur la propagation des singularités, permet la construction de parametrix et des résultats de régularité elliptique dans des directions restreintes, et décompose les problèmes en morceaux d'espace des phases traitables par le calcul symbolique et l'analyse semi-classique. ## Inversion Inversion La localisation classique en position seule (coupure locale en x) ou les méthodes spectrales globales qui ignorent l'information directionnelle en fréquence ; celles-ci ne donnent qu'une information grossière sur le support singulier et manquent les phénomènes de propagation directionnelle. ## Limite Limite S'applique aux distributions, hyperfonctions et distributions tempérées sur des variétés ou R^n munies d'un espace cotangent ; ne se prête pas de manière significative aux objets algébriques purement de dimension finie sans notion de fréquence, ni aux problèmes dépourvus de description Fourier ou cotangente. ## Tension sémantique Tension sémantique La tension existe entre les descriptions microlocales (directionnelles dans l'espace des phases) et la régularité purement spatiale : une fonction peut être lisse en x mais présenter des singularités directionnelles détectées microlocalement ; inversement, des méthodes spectrales grossières confondent des comportements microlocaux distincts. ## Synthèse Synthèse La microlocalisation affine la localisation en ajoutant l'information directionnelle/fréquentielle à la position spatiale ; en décomposant les distributions dans l'espace des phases elle transforme des questions globales d'EDP et de régularité en analyses locales le long des directions caractéristiques, réconciliant douceur locale et singularités directionnelles.