##  [Espace C^K](/fr/node/62519) 

 Définition

L'espace des fonctions sur un domaine donné qui possèdent des dérivées continues d'ordres tous jusqu'l'ordre K inclus, muni d'une topologie ou d'une norme traduisant la convergence uniforme de la fonction et de ses dérivées jusqu'à l'ordre K.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La régularité se mesure par l'existence et la continuité des dérivées jusqu'à l'ordre K ; la topologie suit le contrôle uniforme de ces dérivées et commande ainsi l'approximation et la stabilité sous les opérations qui conservent ce degré de régularité.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Sur un intervalle fermé [a,b], C^1([a,b]) est l'ensemble des fonctions dont la dérivée première est continue ; la norme ||f||_{C^1} = sup|f| + sup|f'| fait de C^1([a,b]) un espace de Banach, illustrant le contrôle uniforme des valeurs et de la dérivée première.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer qu'une régularité C^K entraîne des propriétés plus fortes (par exemple l'analyticité) ou confondre dérivées classiques et dérivées faibles issues des cadres distributionnel ou de Sobolev sans vérifier la continuité jusqu'à l'ordre K.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Bien employé, cela apporte un contrôle sur le comportement ponctuel et permet des opérations classiques : approximation uniforme par des fonctions plus lisses sur des compacts (lorsque possible), stabilité de la composition sous compatibilité, et développements de Taylor jusqu'à l'ordre K.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Inverser la notion en considérant des régularités plus faibles, comme les espaces de Sobolev qui contrôlent les dérivées en Lp plutôt que uniformément ; la continuité pointwise des dérivées disparaît tandis qu'un contrôle moyen subsiste.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Dépend du domaine et de sa topologie (variété, ouvert ou intervalle) ; exclut les fonctions définies seulement au sens des dérivées faibles ; pour K fini il s'agit d'une classe de régularité d'ordre fini, distincte de C^∞ ou des fonctions analytiques.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

La tension porte entre la régularité classique C^K (dérivées continues jusqu'à l'ordre K) et les notions distributionnelles ou de Sobolev qui n'autorisent que des dérivées en sens faible ; également entre propriétés locales et globales près des bords.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un espace C^K regroupe les fonctions dont les dérivées jusqu'à l'ordre K sont continues, avec une norme/topologie capturant le contrôle uniforme de ces dérivées ; il formalise la régularité d'ordre fini utilisée en analyse classique et en géométrie différentielle.