##  [Décomposition de Wedderburn–Malcev](/fr/node/62502) 

 Définition

Un théorème de structure pour les algèbres associatives de dimension finie affirmant que, sous une condition de scindage, une algèbre A se décompose en somme semi-directe (ou somme d'espaces vectoriels) A = S ⊕ R où R est le radical de Jacobson et S est une sous-algèbre semi-simple isomorphe au quotient semi-simple A/R ; la décomposition fournit un complément semi-simple au radical lorsque le scindage existe.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Les algèbres associatives de dimension finie sur des corps satisfaisant des hypothèses de séparabilité ou de scindage admettent un complément au radical : le quotient semi-simple se relève en une sous-algèbre semi-simple à l'intérieur de A, donnant un scindage de la suite exacte 0 → R → A → A/R → 0 au niveau des algèbres (à conjugaison intérieure près).

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour l'algèbre des matrices triangulaires supérieures n×n sur un corps, le radical R est constitué des matrices strictement triangulaires supérieures et un complément semi-simple S est constitué des matrices diagonales ; A = S ⊕ R réalise concrètement la décomposition de Wedderburn–Malcev.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer que la décomposition est canonique ou qu'elle existe sans vérifier les hypothèses de séparabilité/scindage ; supposer l'unicité du complément semi-simple (il est généralement non unique et défini à conjugaison intérieure près), ou l'appliquer à des algèbres de dimension infinie où l'énoncé peut échouer.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Permet de réduire les questions de classification et de représentation à la partie semi-simple et à l'action de la sous-algèbre semi-simple sur le radical, en étudiant les modules par restriction à S et en comprenant les données d'extensions portées par R.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Lorsqu'aucun complément semi-simple n'existe, l'algèbre ne s'écrit pas S ⊕ R et la structure empêche la réduction en parties semi-simples et radicales ; cela signale un comportement non scindé ou non séparable du quotient et des données d'extension plus complexes.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux algèbres associatives de dimension finie sur des corps satisfaisant les conditions de scindage/séparabilité nécessaires (par exemple sur des corps parfaits ou en caractéristique zéro lorsque le quotient semi-simple est séparable) ; elle exclut de nombreuses algèbres de dimension infinie, les structures non associatives et les cas où le quotient semi-simple ne se relève pas dans A.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Se rapporte au théorème de Wedderburn–Artin (classification des algèbres semi-simples) et à la décomposition de Levi en théorie des algèbres de Lie ; la tension vient du fait que Wedderburn–Malcev donne un scindage interne lorsque c'est possible mais n'assure pas l'unicité, si bien que les descriptions structurelles doivent gérer des choix non canoniques.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La décomposition de Wedderburn–Malcev est l'analogue, pour les algèbres associatives, d'un scindage de Levi : quand le quotient semi-simple d'une algèbre de dimension finie se relève, on obtient une sous-algèbre semi-simple interne qui complète le radical et isole ainsi les parties semi-simples et nilpotentes pour l'analyse structurelle et représentationnelle.