##  [Lemme de Shapiro](/fr/node/62491) 

 Définition

Un isomorphisme en cohomologie des groupes qui identifie la cohomologie d’un module induit à la cohomologie relative au sous-groupe qui l’a induit : pour H ≤ G et un H-module M, H^n(G, Ind_H^G M) ≅ H^n(H, M) pour tout n (sous les hypothèses adaptées sur les modules et la topologie).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L’adjonction induction–restriction est à la base du lemme : l’induction est adjoint (à gauche ou à droite suivant les conventions) de la restriction, de sorte que les complexes de cochains du module induit se ramènent aux cochains sur le sous-groupe.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Calcul de la cohomologie d’un module de permutation induit : si M est un module pour H et Ind_H^G M est l’ensemble des fonctions G → M vérifiant l’équivariant requis, l’application explicite au niveau des cochains fournit un isomorphisme H^n(G, Ind_H^G M) → H^n(H, M) ; concrètement, les cochains supportées sur des représentants de classes à gauche s’identifient aux H-cochains.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer le lemme sans vérifier que la construction d’induction et la théorie de cohomologie conviennent à la catégorie considérée (par exemple mêler induction discrète et cohomologie continue pour des groupes profinis, ou utiliser la coinduction au lieu de l’induction quand les hypothèses diffèrent).

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Le lemme de Shapiro transfère des calculs cohomologiques d’un grand groupe vers un sous-groupe plus petit et fournit des compatibilités pour suites spectrales et suites exactes longues ; il est un outil central de calcul et de compréhension en cohomologie des groupes et en cohomologie galoisienne arithmétique.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Les applications de restriction ou d’inflation vont dans la direction opposée et ne sont généralement pas des isomorphismes ; l’énoncé inverse — que la cohomologie de G détermine celle de H sans induction — est faux sans structure supplémentaire.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Valable dans le cadre de la cohomologie des groupes avec induction bien définie (modules discrets, lisses ou continus selon le contexte) ; des modifications sont nécessaires pour les groupes topologiques, les cadres dérivés ou quand on emploie la coinduction à la place de l’induction.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Proche de la réciprocité de Frobenius et parfois appelé Eckmann–Shapiro ; la tension porte sur les différentes adjonctions (induction vs coinduction) et sur les différentes cohomologies (continue, lisse, discrète) où le lemme exige des hypothèses compatibles.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le lemme de Shapiro affirme formellement que l’induction est inoffensive au niveau cohomologique : induire un module au groupe plus grand puis prendre la cohomologie restitue la cohomologie calculée sur le sous-groupe, incarnant l’adjonction qui rend possible le transfert des calculs.