##  [Théorème D'Artin–Wedderburn](/fr/node/62487) 

 Définition

Théorème de classification affirmant que tout anneau artinien semisimple (ou, de façon équivalente, toute algèbre semisimple de dimension finie sur un corps) est isomorphe à un produit direct fini d'algèbres de matrices sur des algèbres divisionnelles ; en particulier, les anneaux simples artiniens sont des algèbres de matrices sur des corps divisés.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'idée organisatrice est que la semisimplicité impose une décomposition en composantes simples, et chaque composante simple a la forme End_D(V) ≅ M_n(D) pour une algèbre divisionnelle D et un espace vectoriel V de dimension finie sur D ; des idempotents centraux séparent les facteurs.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Illustration : l'algèbre de groupe C[G] d'un groupe fini sur les complexes se décompose (par Maschke) en produit fini d'algèbres de matrices complètes sur C, une algèbre de matrices par représentation irréductible complexe, fournissant la décomposition en blocs utilisée en théorie des représentations.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer le théorème à des anneaux non artiniens ou non semisimples (par exemple des algèbres de dimension infinie avec radical de Jacobson non nul) en s'attendant à une décomposition en matrices ; ceci néglige la présence de radicaux, de complétions topologiques ou de subtilités liées aux produits directs infinis.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Le théorème donne une description structurelle complète des algèbres semisimples : classification des modules simples, identification des centres via la décomposition en blocs, équivalences de type Morita explicites et réduction des questions de représentation à l'algèbre linéaire sur des algèbres divisionnelles.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Si un anneau n'est pas semisimple ou pas artinien, la conclusion d'Artin–Wedderburn échoue : il peut exister un radical de Jacobson non trivial, des modules indécomposables au-delà de blocs matriciels, et aucune décomposition finie en produit d'algèbres de matrices.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux anneaux artiniens semisimples et aux algèbres semisimples de dimension finie sur des corps ; ne s'applique pas en général aux anneaux de dimension infinie, aux anneaux avec radical non nul, ni aux algèbres sur des anneaux non corps sans conditions de finitude sauf modifications appropriées.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Il existe une tension entre les usages de 'simple' et 'semisimple' et entre affirmations algébriques de dimension finie et analogues infinis ou topologiques ; une confusion voisine est avec le petit théorème de Wedderburn sur les corps division finis, qui est une assertion distincte.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Artin–Wedderburn identifie les anneaux artiniens semisimples à des produits finis d'algèbres de matrices sur des algèbres divisionnelles, réduisant les questions structurelles et de représentation à l'algèbre linéaire sur ces algèbres divisionnelles et montrant comment des idempotents centraux partitionnent l'algèbre en blocs.