##  [Quasivariété](/fr/node/62434) 

 Définition

Une classe d'algèbres axiomatisable par un ensemble de phrases Horn universelles ; équivalemment, une classe close par sous-algèbres, produits directs et ultraproduits (et contenant l'algèbre triviale lorsque cela est requis).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Caractériser les classes algébriques par des identités universelles conditionnelles plutôt que par des identités pures ; la clôture par sous-structures, produits et la stabilité par ultraproduits constitue l'idée organisatrice.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

La classe des groupes abéliens sans torsion est axiomatisable par la famille de phrases Horn universelles (n·x = 0) → x = 0 pour chaque n>0, donc c'est une quasivariété bien qu'elle ne soit pas une variété.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer qu'une quasivariété est close par toutes les images homomorphes comme une variété ; les images homomorphes ne restent pas nécessairement dans une quasivariété sauf si des axiomes supplémentaires l'imposent.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les quasivariétés admettent des algèbres libres relatives (objets libres dans la classe) et sont stables par des constructions modèle-théoriques comme les ultraproduits ; elles captent précisément les classes de modèles des théories Horn universelles.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Une variété est la notion plus forte obtenue lorsque les axiomes peuvent se prendre comme de pures équations ; les variétés sont des quasivariétés qui sont en outre closes par images homomorphes.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

N'inclut que des classes définissables par des phrases Horn universelles ; exclut les propriétés nécessitant des axiomes existentiels ou des conditions du premier ordre rompant la clôture par sous-algèbres ou produits.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Entre quasivariété et pseudovariété : les quasivariétés admettent des algèbres infinies et la clôture par ultraproduits, tandis que les pseudovariétés se restreignent aux algèbres finies et à la clôture par produits finis et quotients, menant à des applications distinctes.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une quasivariété est la classe de clôture modèle-théorique engendrée par des axiomes Horn universels : elle généralise les variétés en admettant des contraintes conditionnelles, fournit des objets libres relatifs et constitue le cadre sémantique naturel des théories Horn universelles.