##  [Méthode de Reidemeister–Schreier](/fr/node/62408) 

 Définition

Procédure constructive pour obtenir une présentation (générateurs et relations) d'un sous-groupe H d'un groupe G à partir d'une présentation de G ; en choisissant un transversale de Schreier on calcule des générateurs de Schreier pour H et on déduit les relations en réécrivant les relateurs de G en termes de ces générateurs.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Soulever des représentants de classes à gauche pour exprimer les éléments du sous-groupe comme mots en les générateurs originaux, produire les générateurs de Schreier à partir des transitions entre classes et traduire les relateurs ambiants par réécriture pour obtenir des relateurs du sous-groupe.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Étant donné G = ⟨S | R⟩ fini-présenté et un sous-groupe H d'indice fini, choisir une transversale de Schreier de H dans G, calculer les générateurs de Schreier t_{s,g} = s·g·rep(sg)^{-1} pour s∈S et représentants de classes g, et réécrire chaque relateur r∈R pour obtenir un ensemble fini de relateurs pour H ; par exemple, calculer la présentation d'un sous-groupe d'indice 2 d'un groupe libre donne un groupe libre de rang plus élevé déterminé explicitement par la formule de Schreier.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer la méthode sans s'assurer de l'indice fini ou en négligeant la tenue des représentants de classes peut conduire à des ensembles infinis ou redondants de générateurs et de relations ; simplifier naïvement les relateurs peut perdre des relations nécessaires et fournir une présentation incorrecte.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Lorsque la méthode est applicable, elle produit une présentation explicite (souvent finie) de H, montrant que les sous-groupes d'indice fini de groupes fini-présentés sont eux-mêmes fini-présentés et permettant des calculs explicites en théorie combinatoire et computationnelle des groupes.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Le problème inverse — reconstruire la présentation de G à partir d'une présentation de H plus les données d'action sur les classes — n'est pas unique et est généralement plus compliqué ; les présentations de sous-groupes ne sont pas canoniques et dépendent des choix de transversale et de générateurs.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Exige une présentation de G et une description de H (souvent via des représentants de classes) ; les énoncés de finitude algorithmiques supposent en général que H ait indice fini et que la présentation de G soit finie — la méthode devient lourde voire non-terminante pour les sous-groupes d'indice infini ou des transversales mal spécifiées.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Le nom de la méthode est parfois confondu avec les mouvements de Reidemeister en théorie des nœuds ; la tension est surtout terminologique plutôt que mathématique — Reidemeister et Schreier sont impliqués dans des contextes combinatoires différents, d'où la nécessité de préciser qu'il s'agit de la présentation de sous-groupes.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La méthode Reidemeister–Schreier convertit systématiquement les données d'action sur les classes en générateurs et relations explicites du sous-groupe en construisant des générateurs de Schreier à partir d'une transversale et en réécrivant les relateurs ambiants, fournissant des présentations concrètes rendant la structure du sous-groupe calculable.