##  [Théorème de Maschke](/fr/node/62402) 

 Définition

Critère en théorie des représentations affirmant que, pour un groupe fini G et un corps k dont la caractéristique ne divise pas |G|, l'algèbre de groupe k[G] est semi-simple ; de façon équivalente, toute représentation finie-dimensionnelle de G sur k se décompose en somme directe de représentations irréductibles.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Si l'ordre du groupe est inversible dans le corps de base, on peut moyenniser les endomorphismes sur G pour obtenir des compléments invariants par G, garantissant la décomposabilité complète des modules sur l'algèbre de groupe.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Sur les complexes (caractéristique 0), toute représentation finie d'un groupe fini se décompose en irréductibles ; concrètement, la représentation régulière C[G] se scinde en sommes d'algèbres matricielles correspondant aux caractères irréductibles, car (1/|G|)·∑_{g∈G} permet de construire les projecteurs sur les composantes isotypiques.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer la décomposition de Maschke en situation modulaire (lorsque char(k) divise |G|) conduit à des erreurs : les modules indécomposables peuvent ne pas être irréductibles et le moyen de moyennisation par 1/|G| n'est pas valable.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Lorsque les hypothèses sont satisfaites, la théorie des représentations de G se réduit à l'étude des modules simples et de leurs algèbres matricielles ; l'algèbre de groupe a un radical de Jacobson nul et satisfait la structure d'Artin–Wedderburn, ce qui simplifie la classification des représentations et des caractères.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Si char(k) divise |G|, k[G] peut avoir un radical non nul et les modules ne se scindent pas en général ; la théorie modulaire des représentations met alors en jeu des extensions, des recouvrements projectifs et des modules indécomposables non simples.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux algèbres de groupe de groupes finis et aux représentations de dimension finie sur des corps ; ne couvre pas les groupes infinis, les représentations de dimension infinie ni les corps dont la caractéristique divise l'ordre du groupe.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Le théorème de Maschke est parfois confondu avec des critères généraux de semi-simplicité pour les algèbres (par exemple Artin–Wedderburn) ; la tension tient à l'opposition entre une condition arithmétique (inversibilité de |G|) et des notions structurelles plus générales de semi-simplicité.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le théorème de Maschke relie une hypothèse arithmétique simple (l'ordre du groupe est une unité dans le corps) à une conclusion structurelle forte (semi-simplicité de k[G] et décomposabilité complète des représentations), réalisée concrètement par la moyennisation pour obtenir des compléments invariants.