##  [Lemme de Zorn](/fr/node/62387) 

 Définition

Principe en théorie des ensembles et théorie des ordres affirmant que si un ensemble partiellement ordonné vérifie que toute sous-famille totalement ordonnée (chaîne) admet une borne supérieure dans l'ensemble, alors l'ensemble contient au moins un élément maximal (un élément qui n'a pas d'élément strictement plus grand).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Existence par bornage des chaînes : des objets maximaux globaux se déduisent de la condition locale selon laquelle chaque chaîne possède une borne supérieure. Le lemme organise les preuves d'existence en élevant les bornes de chaînes au rang d'éléments maximaux de l'ordre ambiant.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

En théorie des anneaux : pour un anneau commutatif non réduit trivial R, considérer l'ensemble des idéaux propres ordonnés par inclusion. Toute chaîne a pour borne supérieure son union, donc le Lemme de Zorn fournit un idéal maximal propre. De même, pour un espace vectoriel on ordonne les familles linéairement indépendantes par inclusion pour obtenir l'existence d'une base de Hamel.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Employer le Lemme de Zorn pour prétendre à un choix canonique ou constructif d'un élément maximal, ou l'appliquer alors qu'une chaîne n'a pas de borne supérieure dans le poset considéré (ce qui rend l'application invalide). Une autre mauvaise utilisation est de déduire l'unicité d'un élément maximal uniquement à partir du lemme.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Des résultats d'existence non constructifs découlent : de nombreux théorèmes algébriques et analytiques (idéaux maximaux, bases, clôtures algébriques) se démontrent ainsi. Dans ZF, il est équivalent à l'Axiome du Choix et au Théorème du Bon Ordre, et son emploi entraîne les mêmes conséquences non constructives.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Le tableau inverse est un ensemble partiellement ordonné où il existe une chaîne sans borne supérieure ; dans un tel poset la conclusion de Zorn peut échouer et des éléments maximaux peuvent faire défaut. Par contraste, le Théorème du Bon Ordre affirme l'existence d'un ordre total avec éléments minimaux, non la maximalité issue du bornage des chaînes.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique uniquement aux ensembles partiellement ordonnés dont toute sous-chaîne possède une borne supérieure dans l'ensemble ; il n'affirme ni unicité, ni constructivité, ni existence hors de cette hypothèse. Dans de nombreux contextes, il faut vérifier la taille en théorie des ensembles et si l'on travaille en ZF ou avec des principes de choix ajoutés.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension avec les approches constructives et algorithmiques : Zorn garantit l'existence sans fournir de méthode pour trouver l'élément. Tension aussi avec les notions de 'bien-fondé' et les conditions ACC/DCC, qui traitent de la stabilisation plutôt que du bornage des chaînes.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le Lemme de Zorn est un principe d'existence compact : lorsque chaque chaîne d'un ensemble partiellement ordonné admet une borne supérieure, on peut en déduire (de manière non constructive) l'existence d'au moins un élément maximal, outil fréquemment employé pour obtenir des maxima algébriques comme des idéaux maximaux ou des bases.