##  [Socle](/fr/node/62385) 

 Définition

Le socle d'un module ou d'un anneau est la somme de tous ses sous-modules non nuls minimaux (ou idéaux minimaux) ; c'est le plus grand sous-objet semisimple contenu dans le module et il s'identifie à la somme directe de tous les sous-modules simples.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Les sous-modules non nuls minimaux sont simples ; leur somme donne un sous-module semisimple maximal car ajouter un autre sous-module simple reste semisimple ; le socle recueille ainsi toutes ces composantes simples situées au « bas » du module.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour une algèbre de dimension finie sur un corps, le socle du module régulier est la somme de toutes les idéaux simples à gauche ; pour k[x]/(x^n) le socle est l'espace engendré par x^{n−1}, un sous-module simple de dimension 1.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Employer « socle » pour désigner le radical ou le confondre avec le top (quotient semisimple maximal) d'un module ; supposer à tort que le socle est non nul pour des modules sans sous-modules simples.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Connaître le socle aide à déterminer les extensions, les recouvrements projectifs et les couches de Loewy ; un socle volumineux simplifie souvent la classification car il fournit des sommes directes semisimpless immédiates et contraint la structure possible des modules.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La notion duale est le radical ou le top : alors que le socle rassemble les sous-modules simples minimaux en bas, le top (la tête) est le quotient semisimple maximal en haut ; un socle nul signifie l'absence de sous-modules simples.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Défini dans des catégories abéliennes où existent objets simples et sommes directes, typiquement les modules sur des anneaux et les représentations d'algèbres ; il n'a pas de sens dans des contextes dépourvus de notion d'objet simple ou de sommes directes.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension avec la dichotomie radical/top : les deux sont liés à la semisimplification mais situés en positions opposées dans une filtration ; proche aussi de la notion de châsse injective (enveloppe injective) puisque le socle s'y plonge naturellement.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le socle est le sous-objet semisimple maximal obtenu en sommant tous les sous-modules simples ; il constitue la couche de base d'une décomposition semisimple d'un module et oriente l'analyse structurelle et homologique.