## [Indice D'Un Sous-Groupe](/fr/node/62364) Définition Le nombre cardinal de l'ensemble des classes à gauche (équivalemment à droite) d'un sous-groupe H dans un groupe G ; il mesure la taille relative de H dans G et est fini lorsque G se décompose en un nombre fini de classes de H. ## Principe Principe L'indice compte les classes distinctes qui partitionnent le groupe et satisfait des relations multiplicatives dans les tours : si K ≤ H ≤ G et que les indices sont finis alors [G:K] = [G:H]·[H:K]. ## Démonstration Démonstration Dans Z le sous-groupe 2Z a pour indice 2 car les classes sont 2Z et 1+2Z ; dans S4 le stabilisateur d'un point a indice 4 puisque le point a quatre images sous les permutations, produisant quatre classes distinctes. ## Mauvaise application Mauvaise application Supposer que la finitude de l'indice implique la normalité, ou confondre indice et ordre du sous-groupe : un sous-groupe d'indice 2 est toujours normal mais un indice 3 ne l'est pas forcément ; de plus des groupes infinis peuvent avoir des sous-groupes d'indice fini, donc finitude de l'indice n'implique pas la finitude du sous-groupe lui-même. ## Conséquence Conséquence L'indice fini a de nombreuses conséquences structurelles : actions du groupe sur l'espace des classes, existence de cœurs normaux d'indice fini, et restrictions sur les homomorphismes possibles ; en théorie géométrique des groupes, les sous-groupes d'indice fini héritent de nombreuses propriétés à grande échelle du groupe ambiant. ## Inversion Inversion La perspective inverse considère le sous-groupe par son caractère ‘clairsemé’ : le sous-groupe trivial a l'indice maximal égal à |G| dans les groupes finis, tandis que le groupe entier a indice 1 ; l'inversion met l'accent sur les extrêmes denses (indice 1) à clairsemés (indice grand ou infini). ## Limite Limite Défini pour les sous-groupes de groupes ; exclut les sous-ensembles généraux, sous-monoïdes, ou relations où la partition en classes échoue ; l'indice peut être infini et des conventions différentes apparaissent pour les groupes topologiques ou mesurés où l'«indice» doit tenir compte de la mesure ou de la topologie. ## Tension sémantique Tension sémantique La tension apparaît entre indice et ordre du groupe quotient : lorsque H est normal, [G:H] = |G/H|, mais sans normalité l'indice est toujours défini alors que le groupe quotient ne l'est pas ; les débutants peuvent confondre ces notions. ## Synthèse Synthèse L'indice d'un sous-groupe quantifie la manière dont le sous-groupe partitionne le groupe en classes, satisfait des relations multiplicatives dans les chaînes de sous-groupes et contrôle de nombreuses propriétés algébriques et géométriques via des arguments d'indice fini.