## [Calcul du Normalisateur](/fr/node/62342) Définition Procédure qui détermine le normalisateur N_G(S) = {g dans G | gSg^{-1} = S} d'un sous-ensemble ou d'un sous-groupe S fixé dans un groupe ambiant G ; le résultat est le sous-groupe constitué de tous les éléments qui conjuguent S sur lui-même. ## Principe Principe Repérer tous les éléments du groupe dont l'action par conjugaison préserve l'ensemble S ; cela se traduit par des tests des relations de conjugaison ou par la construction d'informations de stabilisateur dans des représentations par permutations ou présentations. ## Démonstration Démonstration Dans le groupe symétrique S4, calculer le normalisateur du sous-groupe engendré par la transposition (1 2). On cherche les permutations g telles que g(1 2)g^{-1} = (1 2) ; le normalisateur est alors le sous-groupe engendré par (1 2) et par les permutations qui permutent les points fixes, donnant un sous-groupe d'ordre 4. ## Mauvaise application Mauvaise application Supposer que le normalisateur coïncide avec le centralisateur (les éléments qui commutent avec chaque élément de S) sans vérification ; cette hypothèse échoue lorsque la conjugaison permute non trivialement les éléments de S. ## Conséquence Conséquence Un calcul correct fournit le plus grand sous-groupe de G dans lequel S est normal, ce qui permet des constructions de quotients, le calcul d'indices et la détermination des tailles de classes de conjugaison ; il fournit aussi le stabilisateur de S pour l'action par conjugaison. ## Inversion Inversion Au lieu de calculer les éléments qui fixent S par conjugaison, calculer l'ensemble des éléments qui envoient S sur une autre conjugée S' (un transporteur) ; l'attention se déplace ainsi du stabilisateur vers le transporteur entre conjugées. ## Limite Limite Portée limitée aux modèles de groupes bien définis ; la faisabilité computationnelle dépend de la présentation du groupe, de la taille des indices et du fait que G soit fini ou donné par une représentation effective ; la méthode ne résout pas la normalité dans des groupes ambiants non représentés. ## Tension sémantique Tension sémantique Normalisateur versus centralisateur versus stabilisateur : le normalisateur concerne la préservation ensembliste par conjugaison, le centralisateur exige la commutation élément par élément, et le stabilisateur est le terme général d'action de groupe — ces notions coïncident seulement dans des cas particuliers. ## Synthèse Synthèse Le calcul du normalisateur regroupe toutes les symétries par conjugaison d'un sous-ensemble S en un sous-groupe N_G(S) ; conceptuellement c'est le stabilisateur de S pour l'action par conjugaison, obtenu par tests ou construction et servant de plus grand sous-groupe de G dans lequel S est normal.