##  [Topologie D'Alexandrov](/fr/node/62304) 

 Définition

Une topologie dont les intersections arbitraires d’ouverts sont ouvertes (équivalently chaque point a un plus petit voisinage) ; de telles topologies correspondent exactement aux préordres sur l’ensemble sous-jacent via l’ordre de spécialisation et sont souvent appelées topologies d’Alexandrov (ou d’Alexandroff).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Exiger que la famille des ouverts soit stable par intersections arbitraires, ce qui donne à chaque point un voisinage ouvert minimal ; cette condition combinatoire fait s’effondrer de nombreuses distinctions topologiques classiques et permet une description d’ordre.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Les espaces d’Alexandrov T0 finis sont équivalents aux posets finis : pour un poset fini (P,≤) on munit P de la topologie dont les ouverts sont les parties montantes ; réciproquement l’ordre de spécialisation d’un espace d’Alexandrov restitue la relation définissante.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer que des axiomes de séparation comme T1 ou Hausdorff tiennent en général pour les espaces d’Alexandrov est faux ; beaucoup de topologies d’Alexandrov sont loin d’être T1 et nissent pas à séparer les points par des voisinages disjoints ; il ne faut pas confondre Alexandrov et discret.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les topologies d’Alexandrov admettent des descriptions combinatoires et algébriques simples (via les préordres), permettant des méthodes discrètes en topologie et des calculs faciles de fermeture et d’intérieur ; elles sont utiles en topologie finie, informatique et modèles combinatoires d’espace.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Dans une topologie générale les intersections arbitraires d’ouverts ne sont pas nécessairement ouvertes ; la topologie de Scott ou les topologies métriques contrastent en exigeant la préservation des suprema dirigés ou en se déterminant par une métrique plutôt que par des intersections arbitraires d’ouverts.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S’applique à tout ensemble mais n’est pas restrictive : elle capture les préordres, peut violer les axiomes de séparation usuels, et est surtout significative quand l’ordre de spécialisation est pertinent ; toutes les topologies utiles en analyse ne sont pas d’Alexandrov.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Proche mais distincte de la topologie de Scott utilisée en théorie des domaines : les deux relient ordre et topologie mais diffèrent quant à la fermeture par intersections arbitraires contre la préservation des suprema dirigés, ce qui engendre des notions de continuité différentes pour les applications monotones.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une topologie d’Alexandrov est une topologie compatible avec des ordres, stable par intersections arbitraires d’ouverts, équivalente au choix d’un préordre dont les ensembles montants sont les ouverts ; elle traduit des relations d’ordre en une structure topologique simple, adaptée aux contextes finis et combinatoires.