##  [Bord de Gromov](/fr/node/62276) 

 Définition

Ensemble des classes d'équivalence de rayons géodésiques dans un espace métrique hyperbolique au sens de Gromov, deux rayons étant équivalents s'ils restent à distance bornée l'un de l'autre ; il encode les directions asymptotiques et la géométrie grossière à l'infini.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Regrouper les rayons géodésiques qui voyagent côte à côte jusqu'à une erreur bornée ; le bord est un invariant par quasi-isométrie capturant la structure à grande échelle, non les propriétés locales.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Dans le plan hyperbolique H2, les rayons géodésiques correspondent aux points idéaux et le bord de Gromov est homéomorphe à un cercle ; pour le graphe de Cayley d'un groupe libre fini, le bord est un ensemble de Cantor.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre le bord de Gromov avec le bord de la complétion métrique ou le bord topologique d'un plongement ; ou le calculer à partir de métriques sensibles à la géométrie locale plutôt qu'au comportement quasi-géodésique à grande échelle.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Une identification correcte produit un bord topologique compact avec une dynamique induite par les isométries ; elle informe la rigidité, la structure quasi-conforme à l'infini et la classification des quasi-isométries.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Au lieu de regrouper les rayons qui restent proches, on pourrait séparer les rayons selon leur divergence, obtenant une classification de type intérieur ; l'inversion rendrait la notion sensible à la géométrie locale et détruirait l'invariance par quasi-isométrie.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique uniquement aux espaces hyperboliques au sens de Gromov (courbure négative grossière) et aux cadres quasi-géodésiques ; exclut les espaces non hyperboliques (espaces euclidiens, espaces symétriques de rang supérieur) où la construction est triviale ou inadéquate.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension avec le bord visuel défini via une métrique ou un point de base particulier et avec l'ensemble limite d'un groupe d'isométries ; ces notions peuvent coïncider mais diffèrent par leur sensibilité au choix métrique et à la structure grossière.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le bord de Gromov est la compactification grossière et invariante par quasi-isométrie d'un espace hyperbolique, obtenue en identifiant les rayons géodésiques qui voyagent ensemble, et qui encode la géométrie asymptotique de l'espace.