##  [Rétraction par Déformation](/fr/node/62233) 

 Définition

Une homotopie H: X × [0,1] → X qui déforme continûment un espace topologique X sur un sous-espace A de sorte que H(x,0)=x, H(x,1) ∈ A pour tout x∈X, et H(a,t)=a pour tout a∈A et tout t ; une telle homotopie montre qu'A est un rétract par déformation de X et fournit une équivalence d'homotopie forte.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Construire une homotopie qui fixe point par point le sous-espace tout en contractant le complément vers celui-ci, réalisant ainsi une forme forte d'équivalence entre l'espace et le sous-espace.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Par exemple, le disque unité D^n se rétracte par déformation sur son centre : poser H(x,t) = (1−t)x qui fixe le centre et rapproche radialement chaque autre point vers le centre, donnant une rétraction par déformation sur un point.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Qualifier toute contraction continue de rétraction par déformation sans fournir une homotopie qui fixe point par point le sous-espace ou respecte les conditions aux bornes entraîne de fausses affirmations d'équivalence d'homotopie.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Si A est un rétract par déformation de X, l'inclusion A ↪ X est une équivalence d'homotopie, induisant des isomorphismes sur tous les groupes d'homotopie et d'homologie, ce qui simplifie les classifications et calculs.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L'inverse est une inclusion de sous-espace sans homotopie qui fixe le sous-espace et rétracte l'espace ambiant sur lui ; une telle inclusion peut ne pas induire d'isomorphismes sur les groupes d'homotopie.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique dans des contextes homotopiques de espaces topologiques où existent des homotopies continues ; exclut des notions plus faibles comme l'équivalence d'homotopie sans homotopie pointfixe spécifiée et les espaces dépourvus d'une topologie raisonnable.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

La tension vient de la notion plus large d'équivalence d'homotopie : toute rétraction par déformation donne une équivalence d'homotopie, mais toute équivalence d'homotopie n'est pas nécessairement réalisée par une rétraction par déformation, les deux notions étant reliées mais distinctes.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une rétraction par déformation est une homotopie explicite qui écrase un espace sur un sous-espace en fixant celui-ci point par point ; elle constitue un témoin concret d'équivalence d'homotopie fort et permet de remplacer X par A pour les calculs.