##  [Dualité D'Alexander](/fr/node/62218) 

 Définition

Un théorème de dualité qui relie les groupes d'homologie réduite d'un sous-ensemble compact A de la sphère S^n aux groupes de cohomologie réduite de son complément S^n \ A, typiquement formulé par un isomorphisme H~_i(A) ≅ H~^{n-i-1}(S^n \ A).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'information homologique sur un sous-ensemble compact d'une sphère est encodée de façon duale dans la cohomologie de son complément ; l'omission de A de la sphère échange les dimensions homologiques selon une règle déterminée par la dimension ambiante.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Si A est une réunion finie de points dans S^2, alors l'homologie réduite H~_0(A) (qui compte les composantes de A moins une) correspond via la dualité d'Alexander à H~^{1}(S^2 \ A), de sorte que le complément possède de la cohomologie en degré un correspondant aux cycles d'enlacement autour de ces points ; ceci permet des calculs concrets pour les compléments d'ensembles de points ou de nœuds.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Utiliser la dualité d'Alexander pour des sous-ensembles qui ne sont pas compacts dans la sphère, ou oublier d'utiliser l'(co)homologie réduite ; appliquer la formule naïvement dans l'espace euclidien sans prendre la compactification par un point conduit à des décalages de degré incorrects.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit un outil de calcul efficace : on peut calculer des invariants des compléments (importants en théorie des nœuds et topologie des compléments) à partir des invariants du sous-ensemble lui-même, et réciproquement, imposant des contraintes sur les plongements et les phénomènes d'enlacement.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Dans le sens inverse, des classes de cohomologie du complément détectent des classes d'homologie du sous-ensemble ; la dualité d'Alexander permet de déduire des propriétés de A à partir de S^n \ A, transformant des calculs sur le complément en informations directes sur A.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Valable pour des sous-ensembles compacts de S^n (ou des sous-ensembles localement compacts de R^n après compactification par un point) et utilise l'(co)homologie réduite ; elle ne s'applique pas sans modifications à des sous-ensembles non compacts arbitraires ni à des variétés ambiantes non sphériques sans hypothèses supplémentaires (les cadres de Lefschetz ou Poincaré peuvent être requis).

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Souvent comparée à la dualité de Poincaré et de Lefschetz ; la tension vient du fait qu'Alexander porte sur le couple sous-ensemble/complément dans une sphère, tandis que Poincaré/Lefschetz concernent l'homologie/cohomologie d'une variété globale, de sorte que les théorèmes sont apparentés mais s'appliquent dans des contextes différents avec des hypothèses différentes.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La Dualité d'Alexander affirme que les données homologiques d'un sous-ensemble compact d'une sphère et les données cohomologiques de son complément sont duales : le calcul de l'un fournit l'autre par un décalage de degré prévisible lié à la dimension de la sphère ambiante, principe employé dans les problèmes de complément et de plongement.