##  [Poids (Topologique)](/fr/node/62200) 

 Définition

Invariante cardinale d'un espace topologique : le poids w(X) est la cardinalité minimale d'une base qui engendre la topologie de X.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Toute topologie est engendrée par des bases ; le poids mesure la plus petite taille d'une telle famille génératrice et quantifie ainsi la complexité topologique globale.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Un espace discret de cardinal κ a pour poids κ parce que les singletons forment une base de taille κ ; la droite réelle R a pour poids le continu puisque la base usuelle d'intervalles ouverts a cette cardinalité.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre le poids avec la densité ou avec la cardinalité de l'ensemble des ouverts est une mauvaise application ; le poids concerne les bases minimales, pas les ensembles denses ni le nombre d'ouverts.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Le poids borne des théorèmes d'immersion et la construction de produits : de nombreux résultats d'injection font référence au poids, et des constructions comme le cube de Tychonoff utilisent le poids comme paramètre.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Un espace de poids minimal κ ne peut pas être engendré par une famille de cardinalité strictement plus petite ; l'inversion mène à considérer des espaces de poids arbitrairement grand sans petite base.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Le poids s'applique aux espaces topologiques comme invariant global ; il ne traite pas directement des bases locales (caractère) ni de la densité, et dépend de la topologie choisie plutôt que de la seule taille de l'ensemble sous-jacent.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Le poids est souvent confondu avec la densité ou avec la cardinalité d'une base en un point (caractère) ; la tension porte sur la différence entre taille globale d'une base et invariants locaux ou de densité.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le poids d'un espace est le plus petit cardinal d'une base qui génère sa topologie : une mesure globale du nombre de ouverts de base nécessaires pour décrire la topologie, distincte des invariants locaux.