##  [Topologie Induite](/fr/node/62161) 

 Définition

La topologie sur un sous‑ensemble A d’un espace topologique X dont les ouverts sont exactement les intersections U ∩ A pour U ouvert dans X ; c’est la topologie que A hérite de X.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Construire la topologie la plus fine rendant l’inclusion i : A → X continue en ne déclarant ouverts que les ensembles obtenus par intersection avec des ouverts de X.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Dans R muni de la topologie usuelle, la topologie induite sur l’intervalle [0,1] comprend des ensembles de la forme (a,b) ∩ [0,1], de sorte que [0,1) est ouvert en tant que sous‑espace et {0} apparaît comme bord relatif isolé pour certains ouverts.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer que la topologie induite préserve toutes les propriétés structurelles de X (par exemple la complétude métrique) sans vérifier si la propriété est stable par passage au sous‑espace.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les propriétés définies par les ouverts (connexité, compacité, séparabilité de Hausdorff si l’inclusion est considérée) se restreignent naturellement à A ; les applications continues sur X se restreignent en applications continues sur A.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Attribuer à A une topologie non liée à celle de X (par exemple la topologie discrète) inverse l’héritage : l’inclusion peut cesser d’être continue et les relations de fermeture ne sont plus celles induites par X.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S’applique uniquement à des sous‑ensembles d’un espace ambiant donné et ne crée pas d’ouverts qui ne soient pas des intersections ; ce n’est ni une construction de quotient ni de produit et exclut toute topologie non obtenue par intersection avec des ouverts de X.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

La tension apparaît entre le vocabulaire relatif/induit/intrinsèque : la topologie issue d’une métrique restreinte coïncide avec la topologie induite si la métrique sur A est la restriction de la métrique ambiante, mais des métriques différentes sur A peuvent définir des topologies non équivalentes.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La topologie induite est le procédé canonique par lequel un sous‑ensemble hérite de l’ouverture de l’espace parent : on intersecte chaque ouvert du parent avec le sous‑ensemble et ces intersections engendrent la topologie de A, garantissant la continuité de l’inclusion et la descente des propriétés topologiques exprimées par des ouverts.