##  [Espace de Sierpiński](/fr/node/62158) 

 Définition

L'espace de Sierpiński est l'espace topologique à deux points S = {0,1} dont les ouverts sont ∅, S et {1} (ou de façon équivalente qui admet exactement un singleton ouvert non trivial) ; c'est le plus petit exemple non trivial de T0 et un exemple fondamental en topologie et en informatique théorique.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Joue le rôle de classificateur des ouverts : les applications continues X → S correspondent aux ouverts de X via l'image réciproque du singleton ouvert distingué ; S encode la vérité de l'ouverté et une séparation minimale (T0 mais pas T1).

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour tout espace X et tout ouvert U ⊆ X, la fonction caractéristique χ_U: X → S qui envoie les points de U sur 1 et les autres sur 0 est continue ; S représente ainsi les indicateurs d'ouverts dans de nombreux arguments catégoriques.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre S avec l'espace discret à deux points ou avec un espace à deux points T1 conduit à des conclusions erronées sur la séparation et la continuité ; de nombreuses constructions exploitent que le singleton asymétrique est ouvert mais pas fermé.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Reconnaître S correctement clarifie des constructions de sémantiques topologiques, fournit des contre-exemples simples (par ex. pour T1 ou Hausdorff) et offre un codomaine minimal non trivial pour les fonctions indicatrices continues des ouverts.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L'inverse est l'espace discret à deux points où les deux singletons sont ouverts (et fermés) ; contrairement à S, l'espace discret est T1 et Hausdorff, perdant l'asymétrie minimale caractéristique de S.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Espace topologique fini et très spécifique ; son comportement est totalement déterminé par le singleton ouvert choisi et il ne représente pas les phénomènes de cardinalité supérieure bien qu'il s'insère naturellement dans des arguments catégoriques.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

La tension se situe entre S comme classificateur minimal des ouverts et d'autres espaces à deux points (discret, indiscret) : la propriété clé est l'unique ouvert non trivial, qui distingue S des exemples bipartites symétriques.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'espace de Sierpiński est l'espace asymétrique à deux points dont l'unique singleton ouvert non trivial en fait l'exemple canonique minimal T0 et le classificateur naturel des ouverts via les fonctions caractéristiques continues.