## [File Dirigée (Moore–Smith)](/fr/node/62148) Définition Une file dirigée (net de Moore–Smith) dans un espace X est une fonction x : D → X depuis un ensemble dirigé (D, ≤) vers X. Les files généralisent les suites en autorisant des ensembles d'indices dirigés arbitraires, ce qui permet de rendre compte de la convergence dans les espaces non première dénombrables. ## Principe Principe L'ordre dirigé sur l'ensemble d'indices détermine quelles valeurs sont finalement dominantes ; la convergence x_d → x signifie que pour tout voisinage U de x il existe d0 tel que x_d ∈ U pour tout d ≥ d0. Les files incarnent l'idée d'éventualité de manière suffisamment flexible pour reproduire la fermeture topologique et la continuité sans hypothèses de dénombrabilité. ## Démonstration Démonstration Considérer l'ensemble dirigé des parties finies d'un indice infini I ordonné par inclusion ; une file indexée par ces parties finies peut témoigner de la convergence de fonctions sur I pour la topologie produit lorsque aucune suite ne le fait. Dans un espace à première dénombrabilité, toute file convergente a une sous-suite (suite) témoin, montrant que les files généralisent strictement les suites. ## Mauvaise application Mauvaise application Trait er les files comme de simples synonymes de suites et restreindre les indices à N fait perdre de la généralité ; indexer par un ensemble ordonné qui n'est pas dirigé ou interpréter 'éventuellement' comme 'pour tous les indices ultérieurs' sans tenir compte de la relation dirigée conduit à des assertions de convergence incorrectes. ## Conséquence Conséquence Les files fournissent des caractérisations équivalentes de la fermeture, de la continuité et de la compacité dans des espaces topologiques arbitraires : un point x appartient à la fermeture de A si et seulement s'il existe une file dans A qui converge vers x. Elles précisent le comportement limite requis pour de nombreux arguments topologiques généraux. ## Inversion Inversion Remplacer l'éventualité par la cofinalité des complémentaires ou remplacer les files par des filtres donne le langage dual : toute file engendre un filtre et tout filtre peut être représenté par des files à cofinalité près ; cette dualité clarifie souvent des preuves en changeant de point de vue. ## Limite Limite Les files sont très générales et parfois difficiles à manier ; dans les espaces à première dénombrabilité, les suites suffisent et en contexte mésurable les files sont moins utilisées. Les files exigent des ensembles d'indices dirigés ; des fonctions arbitraires depuis des ensembles non ordonnés ne sont pas des files et n'héritent pas de la notion de convergence. ## Tension sémantique Tension sémantique La notion de file (net de Moore–Smith) est en tension avec celle de suite (indices dénombrables) et avec les formulations de convergence en termes de filtres ; on choisit les files quand la dénombrabilité échoue, mais on revient souvent aux suites dans les cadres métrisables pour la simplicité. ## Synthèse Synthèse Une file dirigée est une famille de points indexée par un ensemble dirigé qui code l'appartenance éventuelle aux voisinages : en autorisant des indices dirigés arbitraires elle capture la notion topologique complète de convergence et restaure les équivalences entre fermeture, continuité et convergence au‑delà des cadres séquentiels.