## [Système de Voisinage](/fr/node/62143) Définition Une attribution qui associe à chaque point x d'un ensemble X une famille N(x) de sous-ensembles de X appelés voisinages de x ; ces familles sont en général non vides, chaque membre contient x ou au moins contient un ensemble ouvert autour de x, et elles sont stables par passage aux sur-ensembles de sorte que tout sur-ensemble d'un voisinage est encore un voisinage. ## Principe Principe Les systèmes de voisinage véhiculent l'information locale de « proximité » en chaque point ; on retrouve une topologie en déclarant qu'un ensemble est ouvert s'il appartient à la famille de voisinages de chacun de ses points. Les axiomes d'un système de voisinage garantissent la cohérence des données locales entre les points. ## Démonstration Démonstration Dans l'espace euclidien R^n, le système de voisinage en p associe à p la famille de tous les sous-ensembles de R^n qui contiennent une boule ouverte centrée en p. Dans la topologie discrète, N(p) est la famille de tous les sous-ensembles contenant p. Ces exemples montrent comment les mêmes axiomes produisent des comportements locaux familiers. ## Mauvaise application Mauvaise application Confondre un seul ensemble voisinage avec le système complet de voisinages d'un point ou supposer que tout voisinage doit être lui-même ouvert ; utiliser des familles non stables par sur-ensembles ou omettant tout ensemble contenant un voisinage ouvert viole les axiomes et détache la structure d'une topologie. ## Conséquence Conséquence Pour un système de voisinage satisfaisant les axiomes usuels, on peut définir directement la continuité, la convergence et les ouverts/fermés à partir des familles locales ; les systèmes de voisinage offrent donc une formulation point par point équivalente d'une topologie et une manière commode d'exprimer les propriétés locales. ## Inversion Inversion Inverser la condition de stabilité par sur-ensembles donne une attribution de voisinages « petits » stables par passage aux sous-ensembles (système de type idéal) ; de tels systèmes inversés caractérisent des notions d'ensembles négligeables plutôt que de grandeur et ne produisent pas une topologie au sens usuel. ## Limite Limite S'applique à des attributions point par point ; n'affirme pas en soi des propriétés globales comme la séparabilité ou la compacité, et toute famille de sous-ensembles indexée par les points n'est pas un système de voisinage à moins de satisfaire les axiomes de stabilité et de compatibilité. Les systèmes de voisinage ne sont pas nécessairement déterminés par une base locale sauf si une base locale est fournie. ## Tension sémantique Tension sémantique Le « système de voisinage » (la fonction attribuant des familles aux points) entre en tension avec le mot plus court « voisinage » (un seul ensemble contenant un point) et avec « base de voisinages » (une sous-famille génératrice) ; la confusion entre ces sens réduit la clarté quant à savoir si l'on décrit un ensemble, une famille génératrice ou une attribution point par point. ## Synthèse Synthèse Un système de voisinage est l'encodage point par point de la topologie locale : en chaque point il enregistre quels sous-ensembles l'entourent, organisés de façon que les sur-ensembles conservent le statut d'entourage et que l'ensemble des données reconstruise les ouverts, la continuité et la convergence.