##  [Nombre Premier Anormal (Elliptique)](/fr/node/62112) 

 Définition

Pour une courbe elliptique E définie sur Q (ou un corps de nombres), une prime p de bonne réduction est dite anormale si le nombre de points sur F_p vérifie #E(F_p) ≡ 1 (mod p), équivalemment si la trace de Frobenius a_p satisfait a_p ≡ 0 (mod p), ce qui entraîne des comportements arithmétiques et algorithmiques exceptionnels.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Aux places de bonne réduction on étudie l'action de Frobenius sur la réduction ; les nombres premiers anormaux sont ceux pour lesquels la trace de Frobenius s'annule modulo p, de sorte que le groupe E(F_p) a un ordre congru à 1 modulo p, ce qui a des conséquences sur la p-torsion et les propriétés de relèvement des points.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Si E a bonne réduction en p et que la trace de Frobenius a_p vaut kp pour un entier k (en pratique a_p ≡ 0 mod p), alors #E(F_p)=p+1−a_p ≡ 1 (mod p) ; de telles primes peuvent se produire et sont précisément les primes anormales qui conduisent à ce que E(F_p) contienne un point d'ordre p ou d'autres phénomènes de torsion exceptionnels.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre primes anormales avec des primes de mauvaise réduction ou avec des primes supersingulières sans vérifier les définitions ; anormal est une condition de congruence sur le comptage des points en bonne réduction et se distingue logiquement du type de réduction ou de la supersinguliérité en général.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les primes anormales peuvent générer des faiblesses arithmétiques et cryptographiques : des courbes présentant de telles primes peuvent être vulnérables à des attaques exploitant la présence de p-torsion sur F_p, compliquent les heuristiques de comptage de points et affectent les arguments locaux de déformation et de descente.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Prime non anormale : #E(F_p) n'est pas congru à 1 modulo p (équivalemment a_p n'est pas divisible par p), de sorte que le comportement congruent exceptionnel en p est absent et les propriétés locales standard tiennent sans cette pathologie de torsion particulière.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Le terme n'a de sens qu'aux primes de bonne réduction pour la courbe elliptique et porte sur des congruences du nombre de points modulo p ; il exclut les primes de mauvaise réduction et doit être distingué de notions proches comme la réduction supersingulière ou ordinaire, qui se définissent différemment.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre primes anormales et primes supersingulières : certaines caractérisations coïncident dans des cas particuliers, mais anormal est une congruence sur le comptage de points en bonne réduction tandis que supersingulier se rapporte à la structure du schéma de p-torsion et aux pentes de Frobenius ; ce sont des phénomènes liés mais distincts.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une prime anormale pour une courbe elliptique est une prime de bonne réduction en laquelle la trace de Frobenius s'annule modulo p, de sorte que #E(F_p) ≡ 1 (mod p) ; cette congruence simple résume une pathologie concrète de torsion et algorithmique qui doit être traitée indépendamment des questions générales de type de réduction.