##  [Théorème D'Euler](/fr/node/62038) 

 Définition

Résultat en théorie des nombres : pour des entiers a et n tels que gcd(a,n)=1, on a a^{φ(n)} ≡ 1 (mod n), où φ(n) est la fonction indicatrice d'Euler qui compte les unités de (Z/nZ)×.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Le groupe multiplicatif des unités modulo n a pour ordre φ(n), donc par le théorème de Lagrange toute unité élevée à l'ordre du groupe est congrue à l'identité modulo n.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple : a=3, n=10 donne φ(10)=4 et 3^4=81≡1 (mod 10). De façon générale, on peut réduire des exposants modulo φ(n) pour calculer des puissances de unités.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer la congruence lorsque gcd(a,n)≠1 (par exemple si a et n ne sont pas premiers entre eux) ou supposer que φ(n) est l'exposant minimal pour toutes les unités ; l'exposant universel minimal peut être la fonction de Carmichael λ(n).

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit des règles de réduction d'exposants en arithmétique modulaire et sous-tend la correction et des étapes clés des protocoles cryptographiques et algorithmes fondés sur l'exponentiation modulaire.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Le petit théorème de Fermat est le cas particulier n premier ; inversement, l'existence de la congruence pour tous les a premiers à n impose des contraintes structurelles sur le groupe multiplicatif de (Z/nZ)×.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Suppose que a et n sont entiers avec gcd(a,n)=1 ; elle n'affirme pas quel est l'exposant minimal qui envoie chaque unité sur 1 (cette information relève de λ(n)) et ne s'applique pas aux diviseurs de zéro modulaires.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Fréquemment confondu avec le petit théorème de Fermat ou avec des énoncés sur les ordres d'éléments individuels ; le théorème d'Euler exprime un fait sur l'ordre du groupe, pas sur l'existence de racines primitives ou d'exposants minimaux pour toutes les unités.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le théorème d'Euler formalise le fait que les unités modulo n forment un groupe fini d'ordre φ(n), donnant la congruence pratique a^{φ(n)}≡1 pour réduire des exposants et relier la structure multiplicative à l'arithmétique modulaire.