##  [Formule D'Inversion de Möbius](/fr/node/62036) 

 Définition

Formule explicite d'inversion sur le poset des diviseurs qui utilise la fonction arithmétique de Möbius μ pour retrouver une fonction arithmétique à partir de sa convolution de Dirichlet ou de ses valeurs sommatoires : si F(n)=∑_{d|n} f(d) alors f(n)=∑_{d|n} μ(d)F(n/d).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La fonction de Möbius μ est l'inverse de la fonction constante 1 pour la convolution de Dirichlet sur les entiers strictement positifs ; par conséquent, les sommes sur les diviseurs se ré-inversent en convoluant avec μ.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Si F(n)=∑_{d|n} f(d), on calcule f(n)=∑_{d|n} μ(d)F(n/d). Par exemple, si F compte des objets selon leurs diviseurs, la convolution avec μ restitue la fonction de comptage initiale f.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer la formule à des sommes qui ne portent pas sur le treillis des diviseurs, à des transformations sans fonction de Möbius définie, ou ignorer les conditions de convergence pour des séries infinies conduit à des inverses erronés.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Permet la reconstruction exacte de fonctions arithmétiques à partir de données cumulées ou convoluées, facilite l'inversion de transformées multiplicatives et sous-tend de nombreuses identités d'inclusion–exclusion en théorie des nombres.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La transformée directe est la transformée zêta (somme sur les diviseurs) F=ζ*f ; l'inversion de Möbius en est l'inverse, et l'inversion rétablit la sommation à partir de la fonction point par point.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux fonctions sur les entiers positifs ordonnés par la divisibilité (ou, plus généralement, sur des posets localement finis munis d'une fonction de Möbius) ; elle ne s'applique pas telle quelle aux anneaux arbitraires, aux intégrales continues ou aux posets sans élément de Möbius sans adaptation.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Souvent confondue avec d'autres notions portant le nom de Möbius (transformations de Möbius en analyse complexe ou bande de Möbius géométrique) et avec l'inclusion–exclusion générale ; la distinction essentielle est l'inversion algébrique pour la convolution de Dirichlet ou la transformée zêta du poset.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'inversion de Möbius est le procédé algébrique qui annule les transformées par sommes sur les diviseurs : considérer la somme sur diviseurs comme une convolution zêta et récupérer la fonction initiale en convoluant avec μ, sous réserves des hypothèses combinatoires et de convergence.