##  [Petit Théorème de Fermat](/fr/node/62028) 

 Définition

Si p est premier et a est un entier non divisible par p, alors a^{p-1} ≡ 1 (mod p) ; équivalemment, pour tout entier a on a a^p ≡ a (mod p).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Le groupe multiplicatif des entiers modulo un premier p a pour ordre p−1, donc l'élévation d'une unité à cet ordre donne l'élément neutre ; le théorème reflète un raisonnement ordinaire de théorie des groupes appliqué à (Z/pZ)^×.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple : p=7 et a=2 ; 2^6 = 64 ≡ 1 (mod 7), d'où 2^7 ≡ 2 (mod 7). Cette congruence concrète illustre le théorème pour un premier et une base simples.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Utiliser a^{n-1} ≡ 1 (mod n) comme certificat de primalité sans précautions : des composés (y compris des nombres de Carmichael) peuvent satisfaire la congruence pour de nombreuses bases, la réciproque n'est donc pas valide en général.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit la base de tests simples de primalité et de réductions en arithmétique modulaire, et sous-tend de nombreuses constructions en théorie des nombres comme l'étude des ordres et des logarithmes discrets modulo p.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Le théorème d'Euler généralise Fermat : pour n et a tels que gcd(a,n)=1, a^{φ(n)} ≡ 1 (mod n) ; inversement, l'échec de la congruence de Fermat peut signaler la compositeness mais sa satisfaction n'assure pas la primalité.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Exige que p soit premier dans l'énoncé tel quel ; la congruence exacte a^{p-1} ≡ 1 (mod p) s'applique seulement aux unités modulo p, et les non‑unités (multiples de p) doivent être traités séparément via la forme équivalente a^p ≡ a.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension vis‑à‑vis des tests de primalité : le théorème donne une condition nécessaire pour la primalité mais pas suffisante, aussi les tests pratiques doivent gérer les pseudopremiers et les contre‑exemples de type Carmichael.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le petit théorème de Fermat affirme que les unités modulo un premier ont un ordre divisant p−1, produisant les congruences concrètes a^{p-1} ≡ 1 (mod p) qui sont fondamentales en arithmétique modulaire, en arguments élémentaires de théorie des groupes et en heuristiques préliminaires de primalité.