##  [Fonction Totiente de Euler](/fr/node/62004) 

 Définition

Fonction arithmétique φ(n) qui compte les entiers positifs ≤ n et premiers avec n ; de façon équivalente, l'ordre du groupe multiplicatif des unités modulo n.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Multiplicative et donnée sur une puissance première par φ(p^a) = p^a − p^{a−1} ; plus généralement φ(n) = n ∏_{p|n} (1 − 1/p) pour n ≥ 1. Elle reflète la manière dont les diviseurs premiers réduisent le nombre de résidus inversibles.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple : n = 12 a la factorisation 2^2·3, donc φ(12) = 12·(1−1/2)·(1−1/3) = 12·1/2·2/3 = 4 ; les résidus inversibles modulo 12 sont {1,5,7,11}.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Employer φ pour des entrées non entières, appliquer la multiplicativité sans condition de coprimalité (par ex. supposer φ(ab)=φ(a)φ(b) quand gcd(a,b)≠1), ou confondre φ(n) avec le nombre de facteurs premiers conduit à des erreurs.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

φ(n) détermine la structure et la taille de (Z/nZ)^×, sous-tend le théorème d'Euler a^{φ(n)} ≡ 1 (mod n) pour gcd(a,n)=1, et est central en cryptographie à clé publique et dans les arguments combinatoires et de groupe en théorie des nombres.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La perspective complémentaire consiste à compter les résidus non premiers avec n (n − φ(n)) ou à étudier l'exposant du groupe d'unités (fonction de Carmichael λ(n)) qui mesure le plus petit exposant e tel que a^e ≡ 1 (mod n) pour toutes les unités, plutôt que l'ordre du groupe.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Définie pour les entiers positifs n (avec φ(1)=1) ; des extensions aux rationnels ou réels ne conservent pas les propriétés arithmétiques. La multiplicativité vaut uniquement pour des facteurs premiers entre eux ; les formules reposent sur la factorisation en puissances premières.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Souvent comparée à la fonction de Carmichael λ(n) (liée aux exposants plutôt qu'à l'ordre) et à des fonctions comptant des facteurs premiers ; la confusion survient quand on remplace ordre par exposant ou qu'on confond comportement local et propriétés moyennes globales.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La fonction totient de Euler φ(n) est la mesure arithmétique multiplicative du nombre de résidus inversibles modulo n ; calculée à partir de la factorisation en puissances premières, elle encode à la fois les obstructions locales dues aux premiers et l'information globale sur la taille du groupe utile en théorie et en calcul.