##  [Inversion Modulaire](/fr/node/61986) 

 Définition

Procédure pour trouver un entier x tel que a·x ≡ 1 (mod m) lorsqu'un tel x existe ; c'est trouver l'inverse multiplicatif de a modulo m, généralement via l'algorithme d'Euclide étendu quand pgcd(a,m)=1.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Un inverse existe modulo m exactement quand pgcd(a,m)=1. On calcule le pgcd et les coefficients de Bézout ; le coefficient associé à a, réduit modulo m, donne l'inverse.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Inverse de 3 modulo 11 : pgcd(3,11)=1 et 3·4 = 12 ≡ 1 (mod 11), donc l'inverse est 4. L'algorithme euclidien étendu fournit également le coefficient 4 comme solution de Bézout pour 3 et 11.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Demander un inverse quand pgcd(a,m) ≠ 1 (par exemple l'inverse de 6 modulo 9), ou employer des calculs en virgule flottante qui effacent l'information de divisibilité exacte.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Un inverse modulaire correct permet la division en arithmétique modulaire, la résolution de congruences linéaires et soutient des opérations cryptographiques comme la création et la vérification de signatures.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La réversion consiste à considérer les cas sans inverse : lorsque pgcd(a,m) > 1, il peut exister plusieurs solutions à a·x ≡ b ou aucune solution unique, donc l'inversion standard n'est pas possible.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Défini seulement dans des anneaux où des inverses multiplicatifs peuvent exister ; pour Z/mZ un inverse existe si et seulement si a est premier avec m. Pour des modules composites il faut vérifier le pgcd ; dans des anneaux non commutatifs, inverses à gauche et à droite peuvent différer.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Proche du concept d'inverse multiplicatif dans un corps ; la tension vient du fait que Z/mZ n'est corps que quand m est premier, donc l'existence d'un 'inverse modulaire' pour modules composites requiert la condition de coprimalité et n'est pas automatique.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'inversion modulaire combine le test du pgcd et l'extraction des coefficients de Bézout pour obtenir un entier qui sert d'inverse multiplicatif de a modulo m chaque fois que les nombres sont premiers entre eux.