##  [Système de Résidus Réduit Modulo N](/fr/node/61968) 

 Définition

Ensemble complet de représentants modulo n composé exclusivement d'entiers premiers avec n ; autrement dit un ensemble R ⊂ {0,…,n-1} de cardinal φ(n) tel que tout entier premier avec n est congru à exactement un élément de R modulo n.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'idée organisatrice est de choisir un représentant pour chaque classe résiduelle inversible modulo n afin que la multiplication (et l'inversion) ait un sens au sein des représentants et reflète le groupe multiplicatif (Z/nZ)^×.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour n = 8 un système de résidus réduit est {1, 3, 5, 7} car ce sont les entiers dans {0,…,7} premiers avec 8 ; φ(8) = 4 et ces classes forment le groupe multiplicatif modulo 8.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Inclure des entiers non premiers avec n parmi les représentants, ou supposer qu'un certain ordre des représentants a une signification algébrique ; confondre un système de résidus réduit avec un système complet qui inclurait des classes non premières avec n.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Bien identifié, il fournit un modèle fini des éléments inversibles modulo n, permettant l'inversion, le calcul d'ordres, le théorème d'Euler et l'analyse du groupe restreint (Z/nZ)^×.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Le concept inverse est un système complet de représentants modulo n (représentants de toutes les classes) ou l'étude des non-unités, qui ne possèdent pas l'inversibilité multiplicative sur tous leurs représentants.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Défini pour un modulo n≥1 ; cas triviaux lorsque φ(n)=1 (par ex. n=1,2). Le système ne concerne que les entiers premiers avec n et exclut les diviseurs de zéro et les classes représentées par des nombres ayant des facteurs communs avec n.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre le choix de représentants canoniques minimaux (par ex. restes positifs les plus petits) et d'autres représentants commodes ; tension aussi entre la vue algébrique (groupe des unités) et la liste combinatoire des entiers.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un système de résidus réduit modulo n rassemble un représentant par classe inversible, produisant un ensemble fini concret qui modélise le groupe multiplicatif (Z/nZ)^× et permet l'inversion et le raisonnement multiplicatif modulo n.