##  [Progression Arithmétique](/fr/node/61964) 

 Définition

Suite de nombres (a_n) de la forme a, a + d, a + 2d, … où a est le terme initial fixe et d la différence commune fixe ; de façon équivalente a_n = a + (n-1)d pour n≥1.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La règle organisatrice est la translation linéaire par un incrément constant : chaque terme suivant s'obtient en ajoutant le même incrément d au terme précédent.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple : pour a = 3 et d = 4 la progression est 3, 7, 11, 15, … ; le n-ième terme vaut a_n = 3 + (n-1)·4 et la somme des n premiers termes est S_n = n(2·3 + (n-1)·4)/2.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Prendre une progression géométrique (rapport multiplicatif constant) ou toute suite à différences variables pour une progression arithmétique ; ou supposer des propriétés arithmétiques valables seulement pour d entier lorsque d n'est pas entier.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Une progression arithmétique permet des formules explicites pour le n-ième terme, des formules de sommation simples et des relations linéaires entre termes ; des propriétés élémentaires de divisibilité et de moyenne en découlent directement.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Le motif inversé est une progression géométrique où les termes successifs sont multipliés par un rapport constant, ou toute suite dont les différences successives ne sont pas constantes.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux suites indexées par des entiers avec un addend fixe d ; d peut valoir zéro ou appartenir à l'anneau ambiant (entiers, rationnels, réels). Sont exclus les suites définies par des différences non constantes, des récurrences non additives ou des incréments dépendant de l'indice.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

On confond souvent progression arithmétique (suite) et série arithmétique (somme), ou on confond un motif linéaire approché avec une progression arithmétique exacte.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La progression arithmétique est la structure discrète linéaire élémentaire : une translatée du sous-groupe additif engendré par d, fournissant des formules explicites pour termes et sommes et constituant le modèle primaire de croissance linéaire discrète.