## [Nombre Premier](/fr/node/61958) Définition Un entier naturel supérieur à 1 qui n'a pas d'autres diviseurs positifs que 1 et lui-même. ## Principe Principe Les nombres premiers sont les éléments constitutifs multiplicatifs des entiers positifs : tout entier >1 se factorise de façon unique (à l'ordre près) en nombres premiers dans les entiers, ce qui fait des premiers les atomes du monoïde multiplicatif de N. ## Démonstration Démonstration Exemples : 2, 3, 5, 7, 11 ; par exemple 13 est premier car ses seuls diviseurs positifs sont 1 et 13, tandis que 14 ne l'est pas car 14 = 2×7. ## Mauvaise application Mauvaise application Considérer 1 comme premier (confusion historique) ou confondre la primalité dans Z avec les notions d'irréductibilité ou de primalité dans des anneaux quelconques sans vérifier les définitions peut induire en erreur ; supposer des résultats de densité sans énoncés précis est aussi une mauvaise application. ## Conséquence Conséquence Les premiers sous-tendent le théorème fondamental de l'arithmétique, des résultats analytiques sur la distribution des premiers (par ex. le théorème des nombres premiers) et des applications telles que la cryptographie à clé publique ; les propriétés des premiers gouvernent les fonctions arithmétiques multiplicatives et les algorithmes de factorisation. ## Inversion Inversion Le complément logique d'un nombre premier est un nombre composé (ou 1, qui n'est ni premier ni composé) ; inverser la définition donne la classe des entiers ayant des diviseurs non triviaux. ## Limite Limite La définition s'applique aux entiers positifs (nombres naturels) >1 ; dans d'autres anneaux ou contextes algébriques, il faut distinguer éléments premiers, éléments irréductibles et idéaux premiers : ces notions sont liées mais non identiques. ## Tension sémantique Tension sémantique La tension apparaît entre la primalité élémentaire des entiers et les notions algébriques abstraites : dans des anneaux généraux un élément peut être irréductible sans être premier ; le terme « premier » porte donc des différences techniques selon l'anneau considéré. ## Synthèse Synthèse Un nombre premier est un entier positif >1 qui ne se factorise pas non trivialement ; les premiers sont les constituants multiplicatifs atomiques des entiers et la base de la factorisation, des théorèmes de distribution et de nombreuses applications.