##  [Théorème de Rham](/fr/node/61938) 

 Définition

Théorème identifiant la cohomologie de De Rham d'une variété lisse, définie via les formes différentielles, avec sa cohomologie singulière (ou simpliciale) à coefficients réels, par l'accouplement d'intégration.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'intégration de formes différentielles fermées sur des chaînes singulières induit un isomorphisme entre la cohomologie du complexe différentiel des formes et les groupes de cohomologie topologique à coefficients réels.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour le cercle S^1 l'espace des 1-formes fermées modulo les formes exactes est unidimensionnel et l'intégrale autour de la boucle fournit un isomorphisme avec H^1(S^1; R) ≅ R ; des primitives explicites et le calcul des périodes montrent la correspondance.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Employer l'énoncé pour des espaces non lisses, pour des coefficients autres que R sans adaptation, ou confondre la cohomologie de De Rham avec la cohomologie à coefficients arbitraires conduit à l'erreur ; négliger l'orientation ou la régularité invalide l'accouplement par intégration.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Permet de calculer des invariants topologiques avec des outils différentiels et la théorie elliptique ; montre que des objets purement analytiques (formes différentielles modulo exactes) captent la cohomologie topologique sur R.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La cohomologie singulière ne présente pas nécessairement de représentants différentiels ou de structure analytique ; le théorème n'affecte pas aux classes topologiques arbitraires des formes lisses canoniques si la variété n'est pas lisse.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Nécessite une variété lisse (ou une structure lisse adéquate) ; pour des espaces singuliers, orbifolds ou schémas il faut utiliser des théories adaptées (par ex. cohomologie de faisceaux, formes distributionnelles) et l'isomorphisme classique de De Rham peut échouer.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Se situe entre descriptions analytiques/différentielles et invariants algébriques/topologiques ; la tension apparaît lorsqu'on tente de généraliser l'isomorphisme au-delà du contexte lisse et à coefficients réels.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le théorème de De Rham affirme que, sur une variété lisse, la cohomologie calculée à partir des formes différentielles coïncide avec la cohomologie topologique à coefficients réels, réalisée concrètement par l'intégration sur les cycles.