##  [Géométrie Affine](/fr/node/61898) 

 Définition

Branche de la géométrie qui étudie les propriétés invariantes par transformations affines (compositions de transformations linéaires et de translations), en mettant l'accent sur le parallélisme, les rapports de segments dirigés sur des droites parallèles, les relations barycentriques et la colinéarité, tout en excluant les notions métriques telles que les angles et les longueurs.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Structurer le raisonnement géométrique par l'invariance sous le groupe affine : préserver la rectitude et le parallélisme mais pas les distances ni les angles ; considérer les figures à une transformation linéaire non singulière près suivie d'une translation.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Dans le plan affine sur un corps, les parallélogrammes restent des parallélogrammes sous toute application affine, les milieux de segments alignés dans une même direction restent milieux, et le rapport dans lequel une droite parallèle à un côté d'un triangle coupe les deux autres côtés est conservé ; les coordonnées barycentriques fournissent une description affine des points à l'intérieur d'un triangle.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Employer des arguments euclidiens fondés sur l'angle ou supposer que l'orthogonalité est préservée par des applications affines arbitraires ; considérer les cercles comme invariants conduit à l'erreur car les cercles se transforment généralement en ellipses.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Appliquée correctement, elle permet de classifier les coniques à équivalence affine, de ramener de nombreux problèmes plans à de l'algèbre linéaire en coordonnées et de raisonner sur l'incidence et la division de segments sans introduire de métrique.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Inversez vers la géométrie métrique (euclidienne ou riemannienne) où les produits scalaires et les distances sont centraux et où le parallélisme n'est pas l'invariant principal ; ou bien vers la géométrie projective où le parallélisme est absorbé par des points à l'infini.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux espaces vectoriels ou affines sur corps ou anneaux et aux structures affines combinatoires ; exclut tout raisonnement nécessitant un produit scalaire, des longueurs, des angles ou de la courbure, ainsi que les transformations non linéaires en coordonnées.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension avec le terme « linéaire » : le linéaire suppose souvent un origine alors que l'affine autorise la translation ; tension aussi avec la géométrie euclidienne où longueurs et angles dominent.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La géométrie affine étudie sans métrique la rectitude, le parallélisme et la division proportionnelle sous le groupe affine : elle identifie les relations structurelles préservées par les changements de coordonnées linéaires non singuliers et les translations.