##  [Coordonnées Barycentriques](/fr/node/61868) 

 Définition

Une représentation d’un point par rapport aux sommets d’un simplexe (par exemple un triangle) à l’aide de poids proportionnels aux aires ou volumes signés ; les poids sont normalisés pour que leur somme vaut un et déterminent la combinaison affine des sommets produisant le point.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Tout point du supplémentaire affine d’un simplexe s’exprime (hors cas dégénérés) comme une moyenne pondérée des sommets avec des coefficients sommant à un ; les relations géométriques se traduisent en relations algébriques entre ces poids.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour un point P dans le plan du triangle ABC, calculer trois scalaires α, β, γ proportionnels aux aires des triangles PBC, PCA et PAB, normaliser pour obtenir α+β+γ=1 ; on a alors P = αA + βB + γC, donnant les coordonnées barycentriques (α,β,γ).

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Considérer les coordonnées barycentriques comme des coordonnées cartésiennes sans imposer la contrainte de somme égale à un, ou les utiliser hors de l’espace affine du simplexe (par exemple appliquer des formules d’aire sur des points non coplanaires) mène à des erreurs.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Bien appliquées, les coordonnées barycentriques linéarisent de nombreuses constructions géométriques : intersections de droites, céviennes et équations de coniques deviennent des relations linéaires ou rationnelles en les poids, simplifiant démonstrations et calculs.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Au lieu de représenter un point par des poids sur les sommets, on peut le représenter par des coordonnées cartésiennes absolues ; cette inversion perd l’invariance intrinsèque par transformations affines que conservent les coordonnées barycentriques.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S’applique aux espaces affines engendrés par des simplexes (segments, triangles, tétraèdres) et s’étend aux aires/volumes signés ; exclut les variétés non affines et les contextes où les sommets sont indéfinis ou dégénérés (colinéarité ou coplanarité nécessite des passages à la limite).

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Les coordonnées barycentriques s’opposent aux coordonnées homogènes et cartésiennes : les formes homogènes expriment le comportement projectif tandis que les cartésiennes sont globales ; les barycentriques sont locales à un simplexe et naturellement affines mais pas globales sur un domaine quelconque.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Les coordonnées barycentriques sont une représentation par poids affines liée à un simplexe : en assignant aux sommets des poids normalisés proportionnels aux aires/volumes signés on obtient un système de coordonnées qui transforme assertions d’incidence et de rapport en relations d’algèbre linéaire, stable par affinités.