##  [Théorème de l'Angle Inscrit](/fr/node/61863) 

 Définition

Un théorème sur les cercles : un angle dont le sommet est sur un cercle et dont les côtés sont des cordes intercepte un arc dont la mesure est le double de celle de l'angle inscrit ; autrement dit, un angle inscrit vaut la moitié de l'angle central sous-tendant le même arc.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Correspondance angle–arc : les angles inscrits qui sous-tendent le même arc sont égaux, et tout angle inscrit mesure la moitié de l'arc intercepté (ou de l'angle central correspondant), reflétant la symétrie du cercle par rapport à son centre.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Sur un cercle de centre O, prendre A,B,C sur la circonférence avec sommet en B formant ∠ABC ; comparer ∠ABC à l'angle central ∠AOC sous-tendant l'arc AC : par les triangles isocèles OAB et OBC on obtient ∠ABC = 1/2 ∠AOC, donc la moitié de la mesure de l'arc.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer la règle de la demi-mesure à un angle dont le sommet n'est pas sur le cercle (par exemple un angle extérieur ou intérieur non inscrit) ou confondre arcs et mesures orientées entraîne des erreurs ; même remarque pour l'usage en contextes métriques non standard.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Permet de comparer rapidement des angles sous-tendant le même arc, de montrer l'égalité d'angles dans des quadrilatères cycliques, de relier angles tangente–corde et de ramener de nombreux problèmes angulaires circulaires à des calculs de mesure d'arc.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Contraste avec les angles centraux : un angle central sous-tendant un arc mesure le double de tout angle inscrit qui sous-tend le même arc ; inverser la relation fait passer d'un sommet sur la circonférence au sommet au centre, changeant le lieu des sommets.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Valable en géométrie euclidienne circulaire et dans tout contexte où les mesures d'arc et d'angles inscrits/centraux sont définies ; il ne s'applique pas à des lieux courbes arbitraires ni lorsque les angles sont mesurés dans des métriques non euclidiennes sans réinterprétation.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Il est parfois confondu avec des théorèmes proches (p. ex. théorème tangente–corde) car les deux relient arcs et angles ; la tension se situe entre formulations sommet-sur-le-cercle et sommet-au-centre et entre arcs orientés et non orientés.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le théorème de l'angle inscrit relie un angle sur la circonférence à l'arc qu'il intercepte : tout angle inscrit vaut la moitié de l'angle central (ou de la mesure de l'arc) correspondant, facilitant de nombreuses égalités angulaires dans les configurations cycliques.