##  [Théorème de Pascal](/fr/node/61859) 

 Définition

Un théorème de géométrie projective : pour tout hexagone dont les six sommets appartiennent à une conique non dégénérée, les trois points d'intersection des paires de côtés opposés sont collinéaires (appartenant à une même droite appelée droite de Pascal).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Invariance projective des incidences : les incidences et collinéarités associées à une conique sont préservées par les transformations projectives ; la configuration des intersections des côtés opposés d'un hexagone inscrit dans une conique détermine une seule droite.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Choisir six points distincts A,B,C,D,E,F sur un cercle (cas particulier de conique). Former l'hexagone A–B–C–D–E–F et définir X = AB∩DE, Y = BC∩EF, Z = CD∩FA ; le théorème de Pascal affirme que X,Y,Z sont alignés. La même conclusion vaut après toute application projective envoyant le cercle sur une autre conique non dégénérée.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Prétendre l'alignement lorsque les six sommets ne sont pas sur une même conique (par exemple un hexagone quelconque) ou gérer incorrectement des placements dégénérés (trois sommets consécutifs confondus, ou des côtés opposés parallèles dans une représentation affine) conduit à des erreurs.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit une relation d'incidence fondamentale utilisée pour obtenir de nouvelles droites projectives à partir d'hexagones inscrits dans une conique ; elle conduit à des constructions (la droite de Pascal) et soutient de nombreux résultats et démonstrations synthétiques classiques en géométrie projective.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Énoncé dual (théorème de Brianchon) : pour un hexagone circonscrit à une conique, les trois diagonales principales sont concourantes. La dualité met en évidence l'échange projectif entre colinéarité et concourance.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Valable dans le plan projectif pour des coniques non dégénérées et avec interprétation des dégénérescences ; il ne s'applique pas si les six sommets n'appartiennent pas à une même conique ou si la géométrie ambiante ne satisfait pas les axiomes d'incidence projectifs (par exemple des constructions purement métriques euclidiennes sans clôture projective).

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

On le confond parfois avec des propriétés hexagonales purement métriques (p. ex. côtés opposés égaux) ou avec des théorèmes circulaires spécialisés ; la tension est entre la colinéarité projective (phénomène d'invariance/cross-ratio) et des assertions euclidiennes en longueurs/angles.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le théorème de Pascal est une règle d'incidence projective : un hexagone inscrit dans une conique engendre une droite canonique passant par les trois intersections des côtés opposés, affirmation stable par transformations projectives et dualisée par Brianchon.