##  [Axiome de Playfair](/fr/node/61843) 

 Définition

Un axiome équivalent, dans les systèmes axiomatiques euclidiens usuels, au postulat des parallèles d'Euclide : par un point donné qui n'est pas sur une droite donnée il passe au plus une droite parallèle à la droite donnée.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'axiome de Playfair met l'accent sur l'unicité d'une parallèle plutôt que sur l'assertion explicite d'existence ; dans le cadre des axiomes standards il est interchangeable avec la formulation d'Euclide et commande les résultats dépendant de l'unicité des parallèles.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Étant donnée une droite ℓ et un point P hors de ℓ, on construit la droite par P qui compte des angles alternes internes égaux avec une sécante ; l'unicité résulte du fait que toute autre candidate violerait les relations d'angles et conduirait à une contradiction.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Utiliser la formulation de Playfair isolément dans un système axiomatique dépourvu des autres axiomes euclidiens peut induire en erreur : « au plus une » ne garantit pas à elle seule l'existence d'une parallèle, on pourrait à tort conclure à la non‑existence dans certains modèles.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Associé aux axiomes euclidiens usuels, l'axiome de Playfair assure les propriétés standard des parallèles : unicité des parallèles, relations sur les sommes d'angles dans les polygones et les critères habituels de similarité et de congruence qui reposent sur le parallélisme.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Remplacer « au plus une » par « aucune » ou « plusieurs » conduit respectivement aux géométries elliptiques (pas de parallèles) ou hyperboliques (plusieurs parallèles) ; remplacer par « exactement une » retrouve la phrase existentielle explicite d'Euclide.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Son équivalence au postulat d'Euclide dépend des axiomes environnants ; dans des systèmes axiomatiques affaiblis ou alternatifs les formulations peuvent ne pas être équivalentes, et dans des variétés non planes la notion de droite et de parallèle doit être adaptée.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

La tension tient à la brièveté de Playfair (« au plus une ») comparée à l'énoncé d'Euclide (« exactement une ») : la première met en lumière l'unicité tandis que la seconde combine existence et unicité, ce qui importe en axiomatismes minimaux.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'axiome de Playfair est la reformulation centrée sur l'unicité de l'exigence euclidienne de parallélisme ; dans le cadre des axiomes usuels il produit les mêmes conséquences géométriques mais souligne que l'unicité, plutôt que la forme verbale de l'existence, est la contrainte essentielle.