##  [Postulat Parallèle D'Euclide](/fr/node/61841) 

 Définition

Un axiome fondamental de la géométrie euclidienne affirmant que, donnée une droite et un point qui n'appartient pas à cette droite, il existe exactement une droite passant par ce point qui ne rencontre pas la droite donnée (c'est‑à‑dire qui lui est parallèle).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Le postulat fixe la structure globale de la géométrie plane en prescrivant une condition d'existence et d'unicité pour les parallèles ; il distingue la géométrie euclidienne des géométries non euclidiennes.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Dans le plan euclidien, on peut construire la parallèle unique en traçant des perpendiculaires appropriées ; des conséquences immédiates sont que les angles intérieurs du même côté d'une sécante somment à 180° et que la somme des angles d'un triangle est 180°.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Interpréter la phrase comme facultative ou remplacer « exactement une » par « au plus une » ou « au moins une » sans le jeu d'axiomes ad hoc, ce qui conduit à des conclusions erronées sur les sommes d'angles ou la similarité.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

L'acceptation du postulat entraîne les théorèmes euclidiens habituels : critères de parallélisme, résultats sur les sommes d'angles, critères de similarité et un modèle planaire de courbure nulle.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La nier conduit à des géométries alternatives : la géométrie hyperbolique (il existe plusieurs parallèles par un point extérieur) et la géométrie elliptique (il n'existe pas de parallèles), chacune ayant des lois d'angles et de distances différentes.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Ce postulat concerne la géométrie plane euclidienne dans le cadre des axiomes usuels ; il n'est pas valable sur des surfaces sphériques ni dans des modèles où les droites sont des géodésiques avec courbure globale sans adaptation.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

La tension provient des formulations équivalentes (axiome de Playfair) et de l'intuition de « parallèle » dans les espaces courbes ; la subtilité est de savoir si l'axiome affirme l'existence, l'unicité, ou les deux au sein du système d'axiomes choisi.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le postulat parallèle d'Euclide fournit existence et unicité d'une parallèle par un point extérieur ; il est la charnière qui engendre les résultats métriques et de similarité classiques du plan et dont la négation engendre des géométries non euclidiennes.