## [Courbure Gaussienne](/fr/node/61830) Définition En un point régulier d'une surface lisse, le produit des deux courbures principales k1 et k2 ; une mesure intrinsèque de la déformation de la surface qui dépend seulement de la première forme fondamentale et non de l'immersion dans l'espace. ## Principe Principe La géométrie intrinsèque d'une surface détermine la courbure gaussienne : les données métriques locales (longueurs et angles) fixent K, donc K est invariante par isométries de la surface. ## Démonstration Démonstration Pour une sphère de rayon R, k1=k2=1/R donc K=1/R^2 ; pour un plan K=0 ; pour un point selle comme une paraboloïde hyperbolique on a k1>0, k2<0 et K<0. ## Mauvaise application Mauvaise application Considérer la courbure gaussienne comme la moyenne arithmétique des courbures principales ou comme une mesure extrinsèque de pliage variant lors d'un pliage sans déformation ; confondre les conventions de signe sans préciser l'orientation. ## Conséquence Conséquence La courbure gaussienne gouverne des phénomènes géométriques locaux tels que le comportement des géodésiques, la distortion des aires et, via des formules intégrales, des invariants topologiques globaux ; elle indique si les voisinages sont de type sphérique, plats ou en selle. ## Inversion Inversion Adopter un point de vue extrinsèque conduit à la courbure moyenne ou aux courbures normales ; inverser le concept aboutit à des quantités dépendant de la position de la surface dans l'espace plutôt que de sa métrique. ## Limite Limite Définie aux points réguliers (deux fois différentiables) d'une surface bidimensionnelle ; non définie aux arêtes, aux angles ou pour des ensembles non différentiables. Pour des variétés de dimension supérieure on utilise la courbure sectionnelle ou de Ricci. ## Tension sémantique Tension sémantique Usages concurrents insistent sur l'intrinsèque versus l'extrinsèque ; certains traités confondent les signes ou définissent la courbure via les courbures principales alors que d'autres la donnent par des formules métriques — la tension réside entre invariant métrique sans coordonnées et mesures dépendant de l'immersion. ## Synthèse Synthèse La courbure gaussienne est le scalaire intrinsèque obtenu en multipliant les courbures principales en un point lisse ; elle résume le pli local de la métrique et prédit si les voisinages sont localement sphériques, plats ou en selle.