## [Volume](/fr/node/61825) Définition La mesure tridimensionnelle de l'espace occupé par un solide ou une région, donnée par une intégrale triple ou la mesure de Lebesgue en trois dimensions et exprimée en unités cubiques. ## Principe Principe Le volume se calcule en partitionnant la région en éléments infinitésimaux et en sommant leurs mesures tridimensionnelles ; pour des solides réguliers cela correspond à l'intégration de l'élément de volume déterminé par la métrique ambiante ou le jacobien de changement de coordonnées. ## Démonstration Démonstration Une sphère de rayon r a pour volume (4/3)πr³, obtenu en intégrant des couches sphériques concentriques ou en évaluant une intégrale triple en coordonnées sphériques. ## Mauvaise application Mauvaise application Utiliser des formules d'aire de surface ou d'aire plane pour estimer une capacité ou un volume sans la mise à l'échelle dimensionnelle appropriée, ou négliger les facteurs jacobiens lors d'un changement de variables dans une intégrale. ## Conséquence Conséquence Des calculs de volume corrects fournissent des capacités, des masses pour des distributions de densité données, des probabilités pour des variables aléatoires tridimensionnelles et sont fondamentaux pour les théorèmes basés sur la divergence en calcul vectoriel. ## Inversion Inversion Au lieu de mesurer un contenu tridimensionnel, mesurer seulement l'aire de la surface frontière bidimensionnelle ou un squelette unidimensionnel ; on perd l'information volumétrique et on inverse l'attention vers des caractéristiques de dimension inférieure. ## Limite Limite S'applique aux sous-ensembles de variétés tridimensionnelles ou de l'espace euclidien dotés d'une structure de mesure ; les ensembles non mesurables, les distributions concentrées sur des sous-ensembles de dimension inférieure ou les fractales requièrent des notions de mesure généralisée. ## Tension sémantique Tension sémantique Le volume en tant que contenu géométrique rivalise avec des sens informels comme « capacité » ou « masse » et avec des généralisations de la théorie de la mesure ; une tension existe aussi entre le volume euclidien et les volumes définis par des métriques alternatives ou en géométries non euclidiennes. ## Synthèse Synthèse Le volume est la mesure canonique tridimensionnelle de l'espace occupé par une région : calculé par intégration de l'élément de volume, il fonde les calculs de masse, capacité et probabilité en trois dimensions et se distingue de l'aire de surface et des mesures de dimension inférieure.