##  [Homothétie](/fr/node/61804) 

 Définition

Une transformation par similitude centrée qui envoie chaque point sur le même rayon issu du centre en multipliant les distances au centre par un facteur d'échelle uniforme k (facteur de dilation).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Les vecteurs de position relatifs au centre O sont mis à l'échelle : pour le centre O et le facteur k, P ↦ O + k·(P−O). L'application préserve la collinéarité et les angles tout en multipliant les longueurs par |k|.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Dans le plan, avec centre O=(0,0) et k=2, l'homothétie envoie P=(x,y) sur P'=(2x,2y), doublant les distances à O et produisant une figure semblable deux fois plus grande centrée en O.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Employer des facteurs d'échelle différents selon les directions (mise à l'échelle anisotrope), changer le centre selon le point ou confondre k=0 avec une non-transformation ; oublier qu'un k négatif renverse l'orientation et place les images sur le rayon opposé.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les angles sont conservés et les rapports de longueurs le long de tout rayon issu du centre sont multipliés par k ; les droites ne passant pas par le centre deviennent des droites parallèles, celles passant par le centre sont inchangées ; les figures restent semblables avec un rapport d'échelle prévisible.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Si k≠0, l'homothétie inverse a pour facteur 1/k et le même centre ; un facteur négatif combine mise à l'échelle et symétrie centrale vis-à-vis du centre.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Définie pour tout espace affine ou euclidien muni d'un centre distingué et d'un corps scalaire ; k=1 est l'identité, k=0 concentre tout en le centre, et les mises à l'échelle linéaires non uniformes sont hors du cadre des homothéties.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Souvent confondue avec la similitude uniforme générale (qui peut inclure translations et rotations) ; l'homothétie est une mise à l'échelle uniforme centrée, distincte des similitudes composées avec des isométries supplémentaires.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'homothétie est la mise à l'échelle uniforme centrée qui préserve les directions et les angles tout en multipliant toutes les distances au centre par un même scalaire.