## [Réflexion](/fr/node/61799) Définition Transformation isométrique qui envoie chaque point sur son image miroir par rapport à une droite (dans le plan) ou un plan (dans l'espace), fixant point par point le sous-espace de réflexion. ## Principe Principe La réflexion est une isométrie euclidienne involutive dont l'ensemble des points fixes est le sous-espace de réflexion ; algébriquement c'est une application linéaire orthogonale de déterminant −1 (selon la dimension) et qui vérifie R^2=identité. ## Démonstration Démonstration Dans le plan, la réflexion par rapport à l'axe x envoie (x,y) sur (x,−y). Dans R^3, refléter par rapport au plan z=0 envoie (x,y,z) sur (x,y,−z). Matriciellement, la réflexion autour d'une normale unitaire n s'exprime I−2nn^T. ## Mauvaise application Mauvaise application Confondre réflexion et rotation ou supposer qu'elle préserve l'orientation dans toutes les dimensions ; appliquer la formule du miroir avec une normale non unitaire ou dans un espace sans produit scalaire donne des applications incorrectes ou non isométriques. ## Conséquence Conséquence La réflexion conserve les distances, inverse l'orientation et, avec d'autres réflexions, engendre les groupes orthogonaux ; la composition de deux réflexions produit une rotation ou une translation suivant la position des sous‑espaces réfléchissants. ## Inversion Inversion La réflexion est sa propre inverse (involution) : l'appliquer deux fois rend la configuration initiale. Inversement, composer deux mêmes réflexions s'annule. ## Limite Limite Définie dans des espaces euclidiens ou à produit scalaire où l'orthogonalité et la distance ont un sens ; n'a pas de signification dans des cadres purement affines dépourvus de métrique ou là où la symétrie miroir n'existe pas. ## Tension sémantique Tension sémantique On la confond parfois avec l'inversion dans un cercle ou avec des symétries affines qui fixent un sous-espace sans préserver les distances ; les réflexions sont rigides et isométriques, tandis que les inversions ou les glissements réflexifs diffèrent pour les propriétés métriques ou d'orientation. ## Synthèse Synthèse La réflexion est l'isométrie miroir élémentaire : une application involutive conservant les distances, fixant point par point un sous‑espace et servant de générateur fondamental des transformations orthogonales par composition.